19. Корреляционный анализ

Корреляционный анализ необходим для выявления корреляций и их лагов — задержек, их периодичности. Связь в одном процессе — это автокорреляция, а связь между двумя процессами — это кросс- корреляция. Высокий уровень корреляции может служить индикатором причинно-следственных связей, взаимодействий внутри одного процесса, между двумя процессами, а величина лага указывает временную задержку в передаче взаимодействия.

Обычно в процессе расчета значений корреляционной функции на k-m шаге вычисляется ковариация между переменным по длине отрезком i - 1, …, (n - k) первого ряда X и отрезком i - k, … n второго ряда У, где используются средние значения полноразмерных рядов, а не собственно этих отрезков.

Осреднение, деление производится не на один элемент отрезка, а на один элемент полноразмерного ряда, включающего п элементов. Затем эта ковариация нормируется на стандартные отклонения полноразмерных рядов, а не собственно упомянутых отрезков.

В результате получается некоторая трудная для практической интерпретации величина, напоминающая коэффициент корреляции Пирсона, но не идентичная ему. Поэтому возможности корреляционного анализа, методика которого используется во многих статистических пакетах, ограничены узким кругом стационарных и эргодических временных рядов, которые не характерны для большинства экономических процессов.

На это обратил внимание А. П. Кулаичев, и в пакете STADIA он постарался устранить указанный недостаток. Экономистов в корреляционном анализе интересует исследование лагов в передаче воздействия от одного процесса другому или влияния начального возмущения на последующее развитие того же самого процесса. Для решения таких задач А. П. Кулаичев предложил модификацию известного метода, названную интервальной корреляцией.

20. Спектральный анализ

Общепринятый способ анализа структуры стационарных временных рядов - это использование дискретного преобразования Фурье для оценки спектральной плотности или спектра ряда:

• для получения описательных статистик одного временного ряда или описательных статистик зависимостей между двумя временными рядами; для выявления периодических и квазипериодических свойств рядов;

• для проверки адекватности моделей, построенных другими методами;

• для сжатого представления данных; для интерполяции динамики временных рядов.

Точность оценок спектрального анализа можно повысить за счет использования сглаживающих окон и методов усреднения.

Для анализа необходимо выбрать одну или две переменные и задать следующие параметры:

• размерность временного шага анализируемого ряда, необходимую для согласования результатов с реальной временной и частотной шкалами;

• длину к анализируемого отрезка временного ряда в виде числа включаемых в него измерений; сдвиг очередного отрезка ряда кд относительно предыдущего;

• тип временного окна сглаживания для подавления в спектре так называемого эффекта вытекания мощности;

• тип усреднения частотных характеристик, вычисленных на последовательных отрезках временного ряда.

Результаты анализа включают спектрограммы - значения характеристик амплитудно-частотного спектра и значения фазочастотных характеристик. В случае кросс-спектрального анализа результаты - это также значения передаточной функции и функции когерентности спектра. Результаты анализа могут включать и данные периодограмм. Полезны графики амплитудного спектра и фазы, а в случае кросс-спектрального анализа - также и графики когерентности и передаточной функции.

Спектральный анализ может быть проведен повторно с преобразованием исходного временного ряда. Так, если в процессе выявлены сильные сезонные колебания и требуется провести более детальное исследование несезонных закономерностей, то перед повторным анализом необходимо подавить сезонные изменения трансформацией временного ряда посредством фильтрации, сезонного центрирования, нормирования или дифференцирования. Комплексная функция дискретного преобразования Фурье, используемая для спектрального анализа, позволяет представить непрерывный спектр fx процесса (или кросс-спектр двух процессов f), представленного временным рядом Х_в виде конечного набора синусоидальных и косинусоидальных гармоник в диапазоне частот i от 0 до n/2, где n - длина временного ряда.