Лекция № 3. Тема: модели и моделирование приборов и процессов.

3 . 1 . С У Щ Н О С Т Ь М О Д Е Л И Р О В А Н И Я

Модели и моделирование играют большую роль в решении задач построения машин, приборов и техпроцессов, так как они позволяют изучать влияние различных решений, не прибегая к реальному конструированию и испытаниям рассматриваемого явления. Моделирование незаменимо при изучении приборов и машин, являющихся уникальными, единственными в своем роде, либо для изделий, работающих в тяжелых условиях. В этих случаях применение моделей и моделирования чаще оказывается более дешевым и быстрее приводит к желаемым результатам, чем использование реального оборудования. Несмотря на то, что модели, с помощью которых определяются функционирование конкретной системы, её характеристики, стоимость и (или) временные оценки, могут оказаться уникальными, неприменимыми в общем случае, существуют некоторые общие методы построения моделей и моделирования, которые широко применяются и могут оказать существенную помощь инженеру в самых различных областях его деятельности.

Построение модели может рассматриваться как представление системы или части её в математической или физической форме, удобной для демонстрации того, как система или процесс ведут себя. В процессе моделирования модели подвергаются различным входным воздействиям в различных условиях окружающей среды. Для выявления характера результатов, к которым приводят воздействия таких входных возмущений или окружающей среды в реальной системе. Модели и моделирование очень хорошо дополняют друг друга: модель представляет процесс или систему, а моделирование позволяет определить, как процесс или система будет реагировать на различные условия и ситуации, с которыми им придется столкнуться.

В теории и практике больших систем под моделью обычно понимается

качественное или количественное представление процесса, отражающее влияние факторов, важных для рассмотрения. Несмотря на то, что модель может не со­ответствовать реальному явлению во всех отношениях, она должна описывать существенные входные и выходные величины, внутренние характеристики, а также учитывать влияние окружающих условий, аналогичных тем, в которых работает реальное оборудование. Другими словами, модель представляет собой способ описания реального явления, позволяющий легко, с малыми затратами времени и денег понимать характер результатов, которых можно ожидать от моделируемых оборудования и деятельности.

Обычно выделяют два вида моделирования: физическое (натурное) моделирование и математическое.

3.2. Физическое моделирование. Критерии подобия.

Физическое моделирование основано на создании физического аналога изделия, отличающегося от натурального образца, в основном, масштабом. Необходимым условием является сохранение подобия модельного и натурного образца и условий их функционирования.

Существуют различные способы определения механического или физического подобия. Для практики удобно определения подобия в такой форме.

Два явления подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой системе.Для осуществления пересчета необходимо знать так называемые «переходные масштабы".

Численные характеристики для двух различных, но подобных явлений можно рассматривать как численные характеристики одного и того же явления, выраженные в двух различных системах единиц измерения. Для всякой совокупности подобных явлений все безразмерные характеристики (безразмерные комбинации из размерных величин) имеют одинаковое численное значение. Нетрудно видеть, что обратное заключение также справедливо, т.е. если все безразмерные характеристики для двух движений одинаковы, то движения подобны.

Для сохранения подобия при моделировании необходимо соблюдать некоторые условия. Однако, не практике сплошь и рядом эти условия, обеспечивающие по­добие явления в целом, не выполняются, и тогда встает вопрос о величине погрешностей (масштабном эффекте), которые возникают при переносе на натуру результатов, полученных на модели.

После установления системы параметров, определяющих выделенный класс явлений, нетрудно установить условия подобия двух явлений.

Пусть явление определяется n параметрами, часть которых может быть безразмерными, а некоторые являются размерными физическими постоянными. Допустим далее, что размерности переменных параметров и физических постоянных выражены через k величин с независимыми размерностями (k≤n). В общем случае, очевидно, что из n величин можно составить не более n - k независимых безразмерных комбинаций. Все безразмерные характеристики явления можно рассматривать как функции от этих n- k независимых безразмерных комбинаций, составленных из определяющих параметров. Следовательно, среди всex безразмерных величин, составленных из характеристик явления, всегда можно указать некоторую базу, т.е. систему безразмерных величин, которые определяют собой все остальные величины.

В соответствии с этим выделение подкласса подобных явлений осуществляется с помощью следующего условия.

Необходимым и достаточным условием подобия двух явлений будет постоянство численных значений безразмерных комбинаций, образующих базу. Условия о постоянстве базы отвлеченных параметров, составленных из заданных, определяющих явление величин, называются критериями подобия.

Если все условия подобия выполнены, то для фактического расчета всех характеристик в натуре по данным о размерных характеристиках на модели необходимо знать переходные масштабы для всех соответствующих величин.

Например, в задаче об установившемся поступательном плоско параллельном движении тела в несжимаемой вязкой жидкости все безразмерные величины определятся двумя параметрами: углом атаки α и числом Рейнольдса Rе. Условия физического подобия - критерии подобия - представляются соотношениями

α= c o n s t и

При моделировании этого явления результаты опытов с моделью можно переносить на натуру только для одинаковых α и Rе. Первое условие всегда легко осуществить на практике. Труднее удовлетворить второму условию (Rе = c o n s t) , особенно в тех случаях, когда обтекаемое тело имеет большие размеры, как, например, крыло самолета. Если модель меньше натуры, то необходимо либо увеличивать скорость обтекающего потока, что практически обычно неосуществимо, либо существенно изменять плотность и вязкость жидкости.

На практике эти обстоятельства вносят большие затруднения при изучении аэродинамического сопротивления. Необходимость постоянства Числа Рейнольд-са привела к постройке гигантских аэродинамических труб, в которых можно производить продувки самолетов в натуру, а также труб закрытого типа, в которых циркулирует с большой скоростью сжатый, т.е. более плотный воздух.

Рассмотрим в качестве другого примера задачу о моделировании равновесия упругих конструкций.

Пусть мы имеем какое - нибудь сооружение из однородного материала, на - пример, мостовую ферму. Упругие свойства изотропного материала определяются двумя постоянными: модулем Юнга Е кГ/м² и безразмерным коэффициентом Пуассона µ. Рассмотрим геометрически подобные конструкции и составим таблицу определяющих параметров.

Для определения всех размеров модели достаточно задать некоторый характерный ее размер В. Если в рассматриваемом состоянии равновесия вес конструкции существенен, то удельный вес γ= ρg кГ/ м³ должен фигурировать в качестве определяющего параметра. Кроме силы веса частей сооружения, на него действуют еще внешние нагрузки, распределенные некоторым определенным способом по элементам конструкции. Пусть величина этих нагрузок определяется силой Р кг. Итак, системой определяющих параметров будет µ, Е, В, γ = ρg, Р.

В этом случае мы имеем n =5, k =2, следовательно, базой для механических подобных состояний упругого равновесия будут три безразмерных параметра: µ,

Критерии подобия заключаются в равенстве этих параметров на модели и в натуре. При выполнении этих условий все деформации будут подобными. Если модель в n раз меньше натуры, то на модели деформации будут в n раз меньше, чем в натуре.

Если модель и сооружение в натуре выполнены из одного и того же материала, то значения ρ, µ и Е одинаковы на модели и в натуре, поэтому для механического подобия необходимо удовлетворить условию

gb = const

В обычных условиях g = соnst ; следовательно, для соблюдения механического подобия должно быть В = соnst , т.е. модель должна совпадать с натурой. Иначе говоря, при постоянном g моделирование невозможно.

Изменение g можно достигнуть искусственным путем, если заставить модель вращаться с постоянной угловой скоростью, поместив ее на центробежную машину. При вращении на модель будут действовать массовые силы, аналогичные силе тяжести, но только с другим ускорением. Выбором угловой скорости вращения можно получать любые большие значения для ускорения.