1. Aproksimasiya 2. Dayanıqlıq 3. Yığılma

Diskret analoqlar qurularkən alınan ifadə hökmən diferensial tənliyi və əlavə şərtləri bu və ya digər tərtibdən aproksimasiya etməlidir.

Alınan cəbri tənlıiklər sisteminin həlli dayanıqlı olmalıdır və nəhayət şəbəkə addımları 0-a yaxınlaşdırıldıqda diskret məslənin həlli diferensial məsələnin həllinə yığılmalıdır. Fərq sxemləri nəzəriyyəsində Laks teoremi adı ilə isbat edilən teoremdə birinci iki şərt ödənildikdə üçüncü şərtin də ödənildiyi isbat olunub. Başqa sözlə göstərilir ki, əgər diskret tənliklər sistemi diferensial tənliyi aproksimasiya edirsə və bu sistemin həlli dayanıqlıdırsa, onda diskret məsələnin həlli diferensial məsələnin həllinə yığılır. Indiyə qədər stasionar və qeyri-stasionar birölçülü məsələlərin mükəmməl ədədi həll üsulları işlənmişdir, lakin çoxölçülü məsələlərin həllində kifayət qədər problemlər mövcuddur. Məlumdur ki, çoxölçülü qeyri-stasionar məsələlərin ədədi həll üsulu ilk dəfə amerikalı riyaziyyatçılar-Keçford və başqaları tərəfindən tənlik həll edilmişdir. Bu üsul dəyişən istiqamətlər adlandırılmışdır. Bu üsula anoloji olaraq sovet riyaziyyatçıları Somarski, Yannenkov və s. tərəfindən üsullar təklif edilmişdir. Bütün bu üsulların əsas ideyası çoxölçülü məsələlərin həllinə gətirməkdən ibarətdir. Əvvəlcə aşağıdakı tənlikdə bu üsulun əsaslandırılmasına baxaq:

Fərz edək ki, bu tənliyin anındakı həllinin tapılması məsələsinə baxaq. Bu tənliyi operator şəklində yazaq:

Funksiyaının Teylor sırasına ayrılışından istifadə etməklə axtarılan funksiyanın anındakı qiymətini hesablayaq:

Fərz edək ki, iki birölçülü məsələyə baxılır.

Anoloji üsulla əvvəlcə (1) və (2) məsələsinin həllərini tapaq:

Alınan ifadədə ikinci məsələ üçün baçlanğıc şərti nəzərə alsaq, alarıq:

Alınan həllin ilkin məsələylə müqayisəsi göstərir ki, bu iki həll arasında fərq kəmiyyətinə bərabərdir. Buradan belə bir nəticəyə gəlmək olar ki, verilmiş ikiölçülü məsələnin həllini tapmaq üçün iki birölçülü məsələnin həllini tapmaq kifayətdir.

Ikinci məsələdən tapılan həll ilkin məsələnin həlli qəbul edilir. istənilən zaman anı olduğundan hesablama prosesi verilən ardıcıllıqla davam etdirilir. Ədəbiyyatda bu üsulu koordinatların parçalanması üsulu deyilir. (1) və (2) məsələləri birölçülü olduğundan onların həllini tapmaq mümkündür. Bununçün hər bir məsələnin diskret analoqunu quraq:

I sistemi k parametrinin qeyd olunmuş qiymətində üçdioqanallı matrisi olan xətti tənliklər sistemidir. Belə sistemin həlli Tomas alqoritmi (qovma üsulu) ilə tapılır. II system də i parametrinin qeyd olunmuş qiymətində üçdioqanallı matrisi olan xətti tənliklər sistemidir. Bu sistemin də həlli Tomas alqoritmi ilə tapıla bilər. Göründüyü kimi bir zaman layından digər zaman layına keçərkən iki birölçülü məsələnin həllini tapmaq lazım gəlir. Duqlas və digərlərinin təklif etdiyi dəyişən istiqamətlər üsulu da ikiölçülü məsələnin iki birölçülü məsələnin həllinə gətirir. Yuxarıdakı tənlik üçün bu üsul aşağıdakı şəkildə yazılır.

A sxemi x dəyişəninə görə qeyri-aşkar, y dəyişəninə görə aşkar sxemdir. Ona görə də bu sxemin tənlikləri üçdioqanalı matrisi olan sistemin. B sxemi isə x dəyişəninə görə aşkar, y dəyişəninə görə qeyri-aşkardır. Hər iki sistemi Tomas alqoritmi ilə həll etmək olur. Göründüyü kimi dəyişən istiqamətlər üsulu ilə bir zaman layından digərinə keçid iki mərhələdə baş verir. 1-ci mrəhələdə aralıq şəbəkə funksiyası tapılır. 2-ci mərhələdə isə aralıq funksiyanın qiymətlərindən istifadə etməklə əsas həll tapılır. Lakin, dəyişən istiqamətlər üsulunu üçölçülü məsələnin həllinə ümumiləşdirmək olmur. Ona görə də məsələnin ölçüsü ikidən çox olduqda koordianatlara görə və ya fiziki proseslərə görə parçalama üsullarından istifadə edilir. Bir sıra məsələlərin həllində isə hər iki üsulun kombinasiyasından istifadə edilir. Aşağıdakı misalda bu üsulların tətbiqinə baxaq:

Tutaq ki, qaz şəkilli tullantının atmosferdə diffuziya və küləyin vasitəsilə yayılması prosesinə baxılır. Bu prosesin riyazi modeli belə yazılır:

Küləyin sürətinin sabit olduğu qəbul edilir. Bu tənlik iki prosesin –tullantının külək vasitəsilə yayılmasını və diffuziya yolu ilə yayılmasını təsvir edir. Onda fiziki proseslərə görə parçalama üsulunun ideyasına əsasən bu tənliyi iki tənliyə parçalamaq olar.

Məsələ (1) tullantının hava axını ilə yayılması prosesini təsvir edir. (2) məsələ isə tullantının diffuziya vasitəsilə yayılmasını təsvir edir. Hər iki məsələ ikiölçülüdür və bu məsələləri də koordinatlara görə parçalama üsulu ilə birölçülü məsələlərə gətirmək olar. Onda (1) məsələsinin həll sxemi aşağıdakı şəkildə yazılar:

Anolji üsulla (2) tənliyini koordinatlara görə parçalayaq:

Bu sxemlərdən görünür ki, hər iki üsulun kombinasiyası son nəticədə birölçülü çəsələnin həllinə gətirilir.

18-30--Neyron şəbəkələr və onların tətbiqi

Keçən əsrin 60-cı illərindən başlayaraq modelləşdirmə problemləri ilə bağlı riyaziyyatın müxtəlif sahələrində yeni riyazi aparat təklif edilmişdir. Bu yeni sahələrə misal olaraq qeyri-səlis çoxluqlar nəzəriyyəsi, qeyri-səlis məntiq, fraktal nəzəriyyəsi, süni neyron şəbəkəsi, genetik alqoritmlər və s. Fuzzy sets nəzəriyysəi Zadə tərəfindən daxil edilmişdir. Məlumdur ki, adi çoxluq xarakteristik funksiya ilə təyin edilir. Bu o deməkdir ki, hər hansı x elementi A çoxluğuna daxildirsə,

Gündəlik həyatda elə çoxluqlara rast gəlmək olar ki, bu çoxluqların xarakteristik funksiyası (0,1) bütün qiymətləri ala bilir. Məsələn, yaşı 30-a yaxın olan adamların çoxluğu. Bu cür çoxluqlara qeyri-səlis çoxluqlar və ya fuzzy sets deyilir və kimi təsvir edilir. elemenyin çoxluğa daxil olma dərəcəsidir. 770-ci illərdən başlayaraq süni neyron şəbəkəsi sürətlə inkişaf etdirilməyə başlamışdır. Bu nəzəriyyənin inkişafı süni intellektin yaradılması ilə bağlıdır. (süni intellekt-qarşıya qoyulan məsələnin insan məntiqinə anoloji alqoritmdə həllidir ). Məlumdur ki, insan beyni neyronlar vasitəsi ilə siqnalları qəbul edir və ötürür. Hər bir neyron dendrit və akson adlanan çıxıntılara malikdir. Aksonlarla dendritlərin birləşdiyi yerlər sinapslar adlanır. Süni neyronu belə təsvir etmək olar:

Biolji neyrondan fərqli olaraq süni neyron çox sadə bir funksiyanı yerinə yetirir. Siqnalı qəbul edir, onu çevirir və çıxış siqnalı formalaşdırır. Əgər hər bir neyrona prosessor kimi baxılsa, onda süni neyron şəbəkəsi paralel işləyən prosessorların yığımından ibarətdir. Neyron siqnalı giriş telləri, yəni dendritlər vasitəsilə qəbul edir. Lakin dendritlərin ucunda olan sinapslar qəbul edilən siqnalı gücləndirə və ya zəiflədə bilər. Girişə daxil olan siqnallarkombinə olunur və öz çevirmə funksiyası (aktivasiya funksiyası ) əsasında çıxış funksiyası formalaşdırır, aksonlar vasitəsilə ötürür. Süni neyron şəbəkəsi bioloji neyron şəbəkəsinin bir modelidir. Hər bir süni neyron şəbəkəsi giriş elementlərindən, çıxış elementlərindən və gizli elementlərdən ibarətdir. Məsələn:

B u neyron şəbəkəsi 3 giriş elementindən, 2 qat gizli neyronlardan, 2 çıxışdan ibarətdir. Adətən, neyron şəbəkə qurularkənhər bir neyronun sərhəd qiymətinə malik olduğu nəzərdə tutulur, yəni neyrona daxil olan siqnal bu qiymətdən çox olduqda neyron çıxış siqnalıformalaşdırır. Əvvəlcə bir neyron üzərində çıxış siqnalının formalaşmasına baxaq:

Tutaq ki, neyronun çevirmə funksiyası f-dir. Onda olar. Çevirmə funksiyası süni neyron şəbəkələrdə əsasən aşağıdakı kimi götürülür.

1. Eyniyyət çevirmə funksiyası:

2. Hevisoyd funksiyası

1

3. Xətti funksiya

1

4. S iqmoid funksiyası

Bu funksiyanın qrafiki loqistik

funksiyanın qrafikinə oxşardır.

A

şkardır ki, süni neyron şəbəkəsinin hər hansı bir məslənin həllinə tətbiq edilməsi üçün o öyrədilməlidir. Öyrədilmə prosesinə aşağıdakı sadə misalda baxaq. Fərz edək ki, x və y dəyişənləri arasında ölçmə nəticəsində aşağıdakı asılılıq alınmışdır. Bu qrafikin əsasında bu qiymətləri hesablayan

x

ətti funksiya quraq. Əgər x-in qiymətlərini

n

əzərə alsaq, onda hər bir nöqtə üçün aşağı­­dakı

xətaları alarıq:

Indi isə k və b-ni elə seçmək lazımdır ki, bu xəta bu xətalar kifayət qədər kiçik olsunlar. Onda məsələ aşağıdakı funksiyanın minimumunun tapılmasından ibarət olur:

Bu üsula ən kiçik kvadratlar üsulu deyilir. Onda bu məsələnin həllini ümumi şəkildə belə yaza bilərik:

Bunun üçün verilən funksiyanın k və b-ə görə törəmələrini 0-a bərabər edirik

B

1

1.9

1

u məsələnin süni neyron şəbəkəsiylə həllinə keçməzdən əvvəl hər bir neyronun çıxış siqnalının necə formalaşdırdığından baxaq:

çıxış

-1

-1

o.8

1

1

1

0.5

Fərz edək ki, aktivasiya funksiyası Hevisoyd funksiyasıdır. Onda çıxış 1 olacaqdır.

F ərz edək ki, hər hansı prosesi diaqnostika edirik. Neyronun öyrədilmə prosesi üçün ilkin məlumatlar olmalıdır. Bu məlumatlar iki sinfə bölünür. 1-ci sinif məlumat neyrona öyrədilir (tanıdılır). 2-ci sinif məlumatlar isə neyronu test etmək (yoxlamaq) üçün istifadə edilir. Əgər şəbəkə 2-ci sinif məlumatı düzgün tanısa, onda neyron məsələnin həllinə hazır hesab edilir. Əgər neyron şəbəkədəki əlaqə əmsallarına ixtiyari qiymət versək, hər bir çıxış neyronunda aşağıdakı parametrləri tapmaq olar.

Neyron şəbəkənin əlaqə əmsalları (sinaps əmsalları) təqribi seçildiyindən çıxış neyronun formalaşdırdığı qiymət real qiymətdən fərqli olacaq, yəni

neyronun çıxışında (*) qədər xəta olacaq. -çıxışdakı real qiymətdir, - çıxışda alınmalı qiymətdir. Neyrona şəbəkəni öyrətmək əmsallarını öyrənmək deməkdir. Çıxışn xəta ilə alınması o deməkdir ki, əlaqə əmsalları düzgün təyin edilməmişdir. Bu əmsalları təyin etmək üçün yenə də qradiyenrt üsulundan istifadə edilir. Bu məqsədlə aşağıdakı funksionalı qururuq:

Burada M-çıxış neyronlarının sayıdır. Qradiyent üsuluna görə verilən funksionalı minimumlaşdıran əlaqə əmsallarının qiymətləri

əmsalların artımı isə funksiyanın törəmələri ilə təyin edilir.

Əgər