1.2. Примеры решения задач

Пример 1. Две прямые дороги пересекаются под углом α=60°. От перекрестка по ним удаляются машины: одна со скоростью V_1=60 км/ч, другая со скоростью V_2=80 км/ч. Определить скорости V' и V'', с которыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.

Р

Дано:

α=60°

V_1=60 км/ч

V_2=80 км/ч

V' = ?

V'' = ?

ешение:

Возможны два варианта решения, они показаны на рисунке 1.3 (а, b):

Скорость – это векторная физическая величина и для нахождения относительной скорости (скорости движения одного автомобиля относительно другого) нужно воспользоваться правилом вычитания векторов: .

Как видно из рис.1.4

, .

Для нахождения численных значений относительных скоростей (их модулей) воспользуемся теоремой косинусов:

;

После подстановки численных значений получим:

;

Ответ: V' = 72,2 км/ч; V'' = 122 км/ч.

Пример 2. Первую половину своего пути автомобиль двигался со скоростью V_1=80 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью V_2=40 км/ч. Какова средняя путевая скорость автомобиля?

Р

Дано:

V_1=80 км/ч

S₁ = S₂ = S

V_2=40 км/ч

= ?

ешение:

Средняя путевая скорость определяется выражением:

, (1.1)

где S – весь путь, пройденный автомобилем за время t. В нашем случае путь делится на два участка, на которых автомобиль двигался с различной скоростью, соответственно время движения на этих участках будет разным. Поэтому можно записать, что средняя путевая скорость

(1.2)

Здесь

,

а так как согласно условию задачи

S₁ = S₂ = S,

то

. (1.3)

Подставляя (1.3) в (1.2), после некоторых преобразований получим:

.

Ответ: Средняя путевая скорость автомобиля .

Пример 3. Уравнение движения материальной точки имеет вид x =A+Bt+Ct³, А = 2 м, В = 1 м/с, С =  0,5 м/с³. Найти координату, скорость и ускорение точки в момент времени t = 2с.

Дано:

х = А+Bt+Ct³

А = 2 м

В = 1 м/c

С =  0,5 м/с³

t = 2 c

х = ?

V = ?

а = ?

Решение:

Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

х = (2 + 1∙2  0,5∙2³) м = 0

Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная координаты по времени:

.

Ускорение  вторая производная координаты по времени:

.

В момент времени t = 2 c

Ответ: В момент времени t=2c координата х=0; мгновенная скорость V=5м/c; ускорение а=6м/c². Знак минус показывает, что точка движется с ускорением в сторону, противоположную оси х.

Пример 4. Камень бросили вертикально вверх на высоту h_o=15 м. Через какое время t он упадет на землю? На какую высоту h поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое?

Р

Дано:

h_0=15 м

V = 2V₀

t = ?

h = ?

ешение:

Движение камня в поле тяжести Земли, брошенного вертикально вверх, является равнозамедленным: ускорение а = g. Запишем уравнения кинематики в проекциях на ось y:

В наивысшей точке подъема т.е. и где

t₁ – время, за которое камень поднимется на высоту h_0=15 м. Без учета сопротивления воздуха время подъема и спуска камня на землю будет одинаковым, поэтому время, за которое камень после броска вверх вернется на землю

Для удобства решения задачи запишем систему уравнений:

Тогда из (1.8) отсюда t  3,5 c. Из (1.5) Следовательно, если начальная скорость V₀ увеличится в 2 раза, время подъема также увеличится в 2 раза. Из (1.4) видно, что

Ответ: t  3,5 c, h = 60 м.

Пример 5. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии l=5м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на h=1м меньше высоты h, с которой брошен мяч. С какой скоростью V_x брошен мяч? Под каким углом  мяч подлетает к поверхности стенки?

Дано:

l=5м

h=1м

V_x = ?

 = ?

Решение:

Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то свободное движение тела в поле тяжести Земли, движущегося по криволинейной траектории, можно представить как сумму двух независимых движений:

1) движение вдоль оси х является равномерным (в этом направлении на тело не действуют силы);

2 ) движение вдоль оси y – равноускоренное (действует сила тяжести, направленная вниз).

Таким образом, перемещение и скорость мяча по горизонтали определяем по формулам, используемым для равномерного движения

,  (1.9)

перемещение и скорость по вертикали – по формулам для равноускоренного движения

(1.10)

В формулах (1.9) и (1.10) t – время, за которое мяч пролетел расстояние l до стенки (по горизонтали) и одновременно опустился на высоту h (по вертикали). Из уравнения (1.10) найдем время полета мяча до стенки:

Горизонтальная составляющая скорости

11,07 м/c.

Вертикальная составляющая скорости

Из рис. 1.6 видно, что

Ответ: Мяч был брошен со скоростью V_x = 11,07 м/c и подлетел к стенке под углом  = 68^o.

Пример 5. Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время t=40с уменьшило свою частоту с n_1=300об/мин до n_2=180об/мин. Найти угловое ускорение  колеса и число оборотов N колеса за это время.

Дано:

t = 40 с

n₁=300об/мин = 5 об/с = 5 с^1

n₂=180об/мин = 3 об/с = 3 с^1

 = ? N = ?

Решение:

При равнозамедленном движении ускорение отрицательное. Действительно, расчеты показывают, что при движении с постоянным ускорением

или

Согласно условию задачи, колесо за время t совершило N оборотов, т.е. повернулось на угол :

После преобразований получим:

Ответ: Угловое ускорение колеса число оборотов

Пример 6. Шар массой т_1=0,5кг, движущийся горизонтально с некоторой скоростью, столкнулся с неподвижным шаром массой т_2=0,2кг (рис.1.7). Шары соударяются абсолютно упруго, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Дано:

т₁ = 0,5 кг

т₂ = 0,2 кг

w = ?

Решение:

Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением:

, (1.11)

где – кинетическая энергия первого шара до удара; U₂ и  скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1.11), для определения w надо найти U₂. Согласно условию задачи, сумма импульсов системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется, и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, запишем:

, (1.12)

. (1.13)

Решая совместно уравнения (1.12) и (1.13) найдем U₂:

.

Подставив выражение U₂ в формулу (1.13) и сократив на V₁ и m₁, получим

. (1.14)

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Проверим размерность расчетной формулы:

.

Подставим в (1.6) числовые значения и рассчитаем:

или

Ответ: Первый шар передал второму шару 82% своей первоначальной энергии.

Пример 7. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m=80г, перекинута тонкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁=100 г и m₂=200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением в оси блока и массой нити пренебречь.

Дано:

m₁ =100 г = 0,1 кг

m₂ =200 г = 0,2 кг

m = 80 г = 0,08 кг

а = ?

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действует две силы: сила тяжести и сила натяжения нити.

Направим ось x вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

, (1.15)

для второго груза

(1.16)

Под действием моментов сил Т₁^/ и T₂^/ относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

 , (1.17)

где  момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z, проходящей через середину диска перпендикулярно плоскости чертежа. Угловое ускорение  блока выразим через тангенциальное ускорение а_ и радиус r блока:

В нашем случае а = а_ .

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити Т₁^/=Т₁, T₂^/=Т₂. Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (1.17) вместо Т₁^/ и T₂^/ выражения Т₁ и Т₂, получив их предварительно из уравнений (1.15) и (1.16):

.

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем:

. (1.18)

Проверим размерность:

После подстановки числовых значений в формулу (1.18) получим:

Ответ: Грузы будут двигаться с ускорением а = 2,89 м/с².

П ример 8. Маховик в виде сплошного диска радиусом R=0,2м и массой m=50кг раскручен до частоты вращения n_1=480мин^1 и предоставлен сам себе (рис.1.9). Под действием сил трения маховик остановился через t=50с. Найти момент сил трения.

Дано:

R = 0,2 м

m = 50 кг

n₁ = 480 мин^1= 8с^1

t = 50 с  

М = ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде:

, (1.19)

где dL_z – изменение проекции момента импульса вращающегося маховика на ось z, совпадающей с его геометрической осью, за интервал времени dt; M_z – результирующий момент внешних сил (в данном случае момент силы трения), действующих на маховик относительно оси z.

Момент силы трения можно считать не изменяющимся с течением времени (M_z=const), поэтому интегрирование уравнения (1.19) приводит к выражению

. (1.20)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение проекции момента импульса равно:

, (1.21)

где J_z  момент инерции маховика относительно оси z;   изменение угловой скорости маховика.

Приравнивая правые части равенств (1.20) и (1.21), получим:

,

откуда

. (1.22)

Момент инерции маховика (диска или сплошного однородного цилиндра) относительно оси, проходящей через его центр масс, определяется по формуле

.

Изменение угловой скорости =_2₁ выразим через конечную n₂ и начальную n₁ частоту вращения. Пользуясь соотношением  =2n, запишем

.

Подставив в формулу (1.22) выражения для  и J_z, получим:

. (1.23)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу измерения момента силы (Нм). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

Подставим в формулу (1.23) числовые значения величин и произведем вычисления:

Нм.

Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает на маховик тормозящее действие.

Ответ: Момент силы трения равен М_z=1Нм.

Пример 9. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном положении. При какой минимальной скорости V₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R_З= 6,3710⁶м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Дано:

R_З = 6,3710⁶ м

g = 9,81 м/с² 

V₁ = ?

Решение:

Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющейся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты меняться не будет. Следовательно:

, (1.18)

где W_К1, W_п1 и W_К2, W_п2 – кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и в конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.

Согласно определению кинетической энергии:

.

Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии:

.

По мере удаления ракеты от поверхности Земли потенциальная энергия возрастает, а кинетическая – убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия W_К2 станет равной нулю, а потенциальная – достигнет максимального значения

.

Подставляя выражения W_К1, W_п1, W_К2, и W_п2 в уравнение (1.18), получаем:

.

откуда

.

Зная, что (g – ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде

,

что совпадает с выражением для первой космической скорости.

Сделаем проверку размерности:

Произведем вычисления:

Ответ: Имея начальную скорость 7,9км/с, ракета сможет удалиться от Земли на расстояние, равное радиусу Земли.

П ример 10. Сплошной однородный диск колеблется вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через край диска (рис.1.10 точка О). Найти радиус диска, если приведенная длина этого физического маятника равна 0,15 м.

Дано:

L = 0,15 м 

R = ?

Решение:

Приведенная длина физического маятника

где J – момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку О; d – расстояние от оси вращения до центра тяжести, в данном случае d = R.

По теореме Штейнера

,

где J_С – момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящий через центр масс. Для диска

.

Итак

.

Откуда находим

.

Делаем расчет:

м.

Ответ: Радиус диска должен быть 0,10 м.