5. Оптика. Элементы атомной и ядерной физики

5.1. Перечень формул, которые можно использовать

при решении задач без вывода.

Скорость света в среде

,

где с – скорость света в вакууме; п – абсолютный показатель преломления среды.

Закон преломления света

,

где i и r – углы падения и преломления световых волн; п₂ и п₁ – абсолютные показатели преломления второй и первой сред.

Оптическая длина пути световой волны

,

где l – геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления п.

Оптическая разность хода двух световых волн

.

Зависимость разности фаз от оптической разности хода световых волн

где   длина световой волны.

Условие максимального усиления света при интерференции (условие интерференционного максимума)

,

где k – порядок интерференционного максимума.

Условие максимального ослабления света (условие интерференционного минимума)

,

где k – порядок интерференционного минимума.

Оптическая разность хода световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей тонкой пленки (пластинки),

a) находящейся в воздухе (n_возд  1) или в среде с n_среды < n

или

б) находящейся в среде с бóльшим значением показателя преломления, чем у пленки (n_среды  n)

или

где d – толщина пленки; n – абсолютный показатель преломления пленки; i – угол падения; r – угол преломления;   длина световой волны.

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных колец в проходящем свете)

где k – номер кольца; R – радиус кривизны поверхности линзы, соприкасающейся с плоскопараллельной пластинкой; n  показатель преломления среды между линзой и пластинкой.

Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых колец в проходящем свете)

.

Радиус mй зоны Френеля:

 для плоской волны  для сферической волны

, (m =1,2,3, …),

где m – номер зоны Френеля, а – расстояние от источника сферической волны до экрана с отверстием, b – расстояние от экрана до точки наблюдения.

Дифракция света на одной щели при нормальном падении лучей:

 условие минимумов интенсивности света

где а – ширина щели; _k – угол отклонения (угол дифракции) лучей; k – номер минимума;   длина волны;

 условие максимумов интенсивности света

где k – номер максимума.

Дифракция света на дифракционной решетке (на N  щелях) при нормальном падении лучей:

 условие главных максимумов интенсивности

где d – период (постоянная) дифракционной решетки; k  номер главного максимума; _k – угол между нормалью к поверхности решетки и направлением дифрагированных волн;

 условие главных (прежних) минимумов интенсивности

где а – ширина щели; k – номер главного минимума;

 условие дополнительных минимумов интенсивности

где k – номер дополнительного минимума.

Разрешающая способность дифракционной решетки

,

где  – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий ( и +), при которых эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки; N – число щелей решетки; k  порядковый номер дифракционного максимума.

Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах (пространственной дифракционной решетке):

 условие максимумов интенсивности рентгеновского излучения (формула Вульфа-Брэггов)

где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла; угол скольжения (угол между направлением пучка параллельных лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла); k – номер дифракционного максимума;   длина волны рентгеновского излучения.

Степень поляризации света

,

где I_max и I_min – максимальная и минимальная интенсивность света, соответствующая двум взаимно перпендикулярным направлениям световых колебаний в луче.

Закон Брюстера

,

где i_Бр – угол падения, при котором отраженный луч полностью поляризован (угол Брюстера); п_2,1 – показатель преломления второй среды относительно первой.

Закон Малюса

,

где I₀ – интенсивность поляризованного света, падающего на анализатор; I – интенсивность поляризованного света, прошедшего через анализатор;  – угол между направлением колебаний светового вектора волны, падающей на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора.

Угол вращения плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество:

 (в кристаллах),

 (в растворах),

где  – постоянная вращения; С – концентрация раствора; d – длина пути в растворе (кристалле); []  удельное вращение.

Закон СтефанаБольцмана

,

где R_e – энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела, т.е. энергия, излучаемая в единицу времени единицей поверхности абсолютно черного тела (тела, способного поглощать полностью при любой температуре всë падающее на него излучение любой частоты); постоянная СтефанаБольцмана; Т– термодинамическая температура.

Энергетическая светимость серого тела (тела, поглощательная способность которого меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности тела)

,

где А_Т – коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела; Т – термодинамическая (истинная) температура тела; Т_р– радиационная температура.

Закон смещения Вúна:

,

где _max – длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела; b  постоянная закона смещения Вúна.

Энергия фотона (кванта света)

, или ,

где h – постоянная Планка;   частота фотона; с – скорость света в вакууме;   длина волны фотона; – постоянная Планка, деленная на 2 ;   циклическая частота .

Импульс и масса фотона

.

Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

или ,

где А_вых – работа выхода электронов из металла; Е_{к max} – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона; V_max – максимальная скорость вылетевшего электрона.

Красная граница фотоэффекта

или ,

где ₀ – минимальная частота света, при которой еще возможен фотоэффект; ₀ – максимальная длина волны света, при которой еще возможен фотоэффект.

Формула Комптона:

, или ,

где  – длина волны фотона, встретившегося со свободным или слабосвязанным электроном; ^/ – длина волны фотона, рассеянного на угол  после столкновения с электроном; т₀масса покоящегося электрона.

Комптоновская длина волны

,

где h – постоянная Планка; m₀ – масса той частицы, при взаимодействии с которой происходит упругое рассеяние фотона (кванта рентгеновского или излучения); с – скорость света в вакууме.

Давление света при нормальном падении на поверхность

,

где Е_е – энергетическая освещенность или облученность (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени);  – объемная плотность энергии излучения;  – коэффициент отражения.

Постулаты Бора:

1) первый постулат (постулат стационарных состояний):

в атоме существуют некоторые стационарные состояния, не изменяющиеся во времени без внешних воздействий. В этих состояниях атом не излучает электромагнитных волн;

2) второй постулат (правило частот):

при переходе атома из одного стационарного состояния в другое им испускается или поглощается один квант энергии

,

равный разности энергий соответствующих состояний (Е_п и Е_kэнергии стационарных состояний, между которыми совершается квантовый скачок электрона);

3) третий постулат (правило квантования орбит):

в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные значения момента импульса, удовлетворяющие условию:

,

где mV_n – импульс электрона на п-й орбите; r_n – радиус п-й орбиты; п – номер орбиты.

Сериальная формула, определяющая частоту  света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода или водородоподобных систем при переходе из одного стационарного состояния в другое,

,

где с – скорость света в вакууме;  –длина волны излученного или поглощенного фотона; R – постоянная Ридберга; Z – порядковый номер элемента (заряд в относительных единицах); n и k – целые числа; n – номер серии спектральных линий (n= 1 – серия Лаймана, n = 2 – серия Бальмера, n = 3 – серия Пашена и т.д.). Для данной серии k = n +1, n +2, n+3, и т.д.

Длина волны де Бройля

,

где р – импульс частицы.

Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы

где m – масса частицы, движущейся со скоростью V; с – скорость света в вакууме; m₀ – масса покоя частицы; Е₀ – энергия покоя частицы (Е₀ = т₀с²);   скорость частицы, выраженная в долях скорости света .

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Е_К частицы:

 для нерелятивистского случая (скорость частицы V<<c, что приводит к неравенству: Е_К<<Е₀)

;

 для релятивистского случая

.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

Полная энергия свободной частицы

Закон радиоактивного распада:

,

где dN – число ядер, распавшихся за интервал времени dt; Nчисло ядер, не распавшихся к моменту времени t; N₀число ядер в начальный момент времени (t=0);  – постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t,

В случае если интервал времени t, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада (t<< ), то число распавшихся ядер можно определить по формуле:

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада :

Среднее время  жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз,

Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,

где m – масса изотопа;   молярная масса; N_A – постоянная Авогадро.

Активность радиоактивного изотопа

или

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; A₀активность изотопа в начальный момент времени.

Дефект массы ядра

,

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); (А  Z) – число нейтронов в ядре; т_р – масса протона; т_п – масса нейтрона; т_я – масса ядра.

Энергия связи ядра

,

где т – дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме.

Энергетический эффект ядерной реакции

,

где с – скорость света в вакууме; – сумма масс исходных ядер; – сумма масс продуктов реакции.

Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

,

где Z – зарядовое число (число протонов); N – число нейтронов.

При всех ядерных реакциях выполняются законы сохранения:

а) закон сохранения энергии;

б) закон сохранения электрического заряда;

в) закон сохранения массового числа;

г) закон сохранения импульса и другие законы сохранения.