Лекция 10

3.3. Влияние упругих механических связей на динамику

Механизмов циклического действия

При рассмотрении динамических нагрузок механизмов связи между движущимися массами системы предполагаются абсолютно жесткими. Однако в реальности надо учитывать упругость механических связей. Из-за конечной жесткости (вместо бесконечной) механическая часть ЭП представляет собой упругую систему, приложение к которой управляющего (момент двигателя) или возмущающих (нагрузки) воздействий вызывает колебания связанных масс, увеличивающих максимальные нагрузки связей и осложняющие точность отработки точных траекторий движения ИО. Повышенная податливость ИО обусловлена наличием упругости канатов, удлиненных по конструктивным соображениям валов, особенно когда ЭД удален от ИО и передача крутящего момента осуществляется длинным жестким или гибким валом. К числу рабочих процессов, требующих учета упругостей, относятся режимы стопорения и выбора зазоров.

Наиболее наглядным проявлением податливости механических связей является раскачивание труб, подвешенных на канатах лебедки буровой, возникающее при пуске и торможении. Рассмотрим эти переходные процессы на примере механизма передвижения груза, подвешенного к перемещающейся тележке (рис. 3.5) [12]. Здесь m₁ – сумма масс механизма и привода, связанных жестко; m₂ – масса подвешенного на канате грузо-захватывающего устройства с грузом. Пуск происходит под действием динамического усилия F_дин, представляющего собой разность постоянного движущего усилия, создаваемого ЭД и постоянного тормозного усилия от сил трения. Эти величины могут быть рассчитаны по формулам:

m₁ = J₁/² ; m₂ = J₂/², (3.8)

F_дин = (M – M_ст)/, (3.9)

т.к. М = F, где  = v/ – радиус приведения от вала двигателя со скоростью  к скорости ИО механизма v.

Рис. 3.5

Движение этой системы во время пуска описывается дифференциальными уравнениями:

F = F_дин – F₁₂ = m₁ (d²S₁/dt²), (3.10)

F₁₂ = m₂ (d²S₂/dt²).

Если пренебречь изменением высоты подвеса, т.е. предполагать, что ОК = l, то из геометрических соображений на рис. 3.5 можно получить:

F₁₂ = m₂g (S₁ – S₂)/l, (3.11)

т.к. F/l = (S₁ – S₂)/l. После преобразований из ур. 3.10 и 3.11 получаем дифференциальное уравнение третьего порядка:

(d³v₁/dt³)/₁₂² + dv₁/dt = F_дин/(m₁ + m₂), (3.12)

где ₁₂² = g (m₁ + m₂)/m₁l – частота свободных колебаний системы.

Уравнение (3.12) можно привести к более общему виду, удобному для анализа динамики и других механизмов, если привести все входящие в него величины к валу двигателя с помощью радиуса приведения :

(d³₁/dt³)/₁₂² + d₁/dt = М_дин/(J₁ + J₂), (3.13)

где ₁₂² = c₁₂ (J₁ + J₂)/J₁J₂ = g (m₁ + m₂)/m₁l, с₁₂ – жесткость упругого элемента. Корни данного характеристического уравнения: р₁ = 0; р_2,3 =  j ₁₂. Решение следует искать в виде ₁ = At + B sin ₁₂t + + C cos ₁₂t. Подставляя в (3.13), находим коэффициент:

А = М_дин/(J₁ + J₂) = _ср,

где _ср – среднее ускорение. Используя начальные условия ₁₀ = 0, d₁/dt = М_дин/J₁, d²₁/dt² = 0, получаем: В = J₂ М_дин/J₁₁₂(J₁ + J₂); C = 0. Тогда решение ур.(3.13) будет:

₁ = _срt + (J₂_срsin ₁₂t)/J₁₁₂. (3.14)

Выражение для момента в упругом элементе М₁₂ можно получить, записав его приведенным к валу двигателя. После преобразований имеем:

М₁₂ = М_12ср(1 – cos ₁₂t), (3.15)

где М_12ср = _срJ₂. Для данного механизма усилие, действующее в переходных процессах, будет меняться по закону F₁₂ = m₂a_cp(1 – cos ₁₂t).

Кривые, соответствующие ур. (3.14, 3.15), представлены на рис. 3.6.

Рис. 3.6

Из рисунка можно сделать вывод, что в переходных процессах подвешенная масса совершает колебательное движение – раскачивается с частотой, зависящей от высоты подвеса и соотношения масс m₁ и m₂. Частота максимальна при минимальной высоте подвеса l (т.к. ₁₂² = g(m₁ + m₂)/m₁l), но и в этом случае она невелика и порядка 0,2–0,3 Гц. За счет раскачивания груза ускорение привода переменно и зависит от фазы колебаний массы m₁.

Раскачивание подвешенной массы проявляется в увеличении нагрузок конструкций механизма и мешает работе операторов, затрудняя установку груза в установленное место, особенно это неблагоприятно для нефтяных скважин, когда необходимо точное совмещение труб. Поэтому уменьшение раскачивания груза – важная практическая задача.

Как это видно из ур. (3.14–3.15), уменьшение амплитуды колебаний может быть достигнуто ограничением среднего ускорения привода _ср. Этот способ является наиболее распространенным, но его недостаток – в увеличении длительности переходных процессов, что снижает производительность. Раскачивание может быть сведено к минимуму действиями оператора, если он имеет возможность регулирования пускового момента в диапазоне 2:1. Действительно, если в момент t = /₁₂, когда отклонение груза максимально, увеличить момент М_дин вдвое, уменьшение отклонения не произойдет (т.е. груз не вернется в вертикальное положение) и колебаний не будет (груз останется в отклоненном положении). Дальнейший пуск будет проходить при отклоненном грузе с удвоенным средним ускорением _ср^/ = 2_ср. Дополнительное уменьшение амплитуды колебаний может быть обеспечено формированием определенного закона изменения во времени динамического усилия F_дин (момента М_дин). В частности, ограничением темпа нарастания динамического момента, чтобы груз успевал при увеличении динамического усилия возвращаться в вертикальное состояние равновесия. Интенсивность нарастания момента можно характеризовать временем t₁ его нарастания до значения, соответствующего допустимому ускорению:

М_дин = М_допt/t₁. (3.16)

Если привести уравнения к валу двигателя и разрешить их относительно момента в упругом элементе М₁₂, получим:

(d²М_1,2/dt²)/₁₂² + М₁₂ = J₂М_дин/(J₁ + J₂). (3.17)

Решая ур. (3.17) с учетом ур. (3.16), получим:

М₁₂ = J₂ _доп {t/t₁ – (1/₁₂t₁) sin ₁₂t}, (3.18)

где_доп = М_доп/(J₁ + J₂) – среднее допустимое ускорение привода.

Сравнивая ур. (3.17) и (3.18) при допустимом ускорении можно заключить, что ограничение темпа нарастания момента снижает амплитуду раскачивания груза относительно среднего значения в отношении:

А₁/А₂ = J₂ _доп /J₂_cp₁₂t₁ = 1/t₁₁₂ = T₁₂/2t₁,

где T₁₂ = 2/₁₂ – период свободных колебаний груза. Так, если принять t₁ = 0,5T₁₂, то амплитуда может быть снижена в 3,14 раза. При вышеуказанной частоте колебаний 0,2–0,3 Гц при минимальной длине подвеса период колебаний будет T₁₂ = 3–5 сек. Получение такого эффекта снижения более чем в три раза амплитуды колебаний, требует увеличения времени нарастания пускового момента ЭП до 1,5–2 сек.