4.9 Газодинамические функции

4.9.1 Число Маха и приведенная скорость. Выше было отмечено, что число Маха равно отношению скорости потока с к местной скорости звука а. В ряде случаев за масштаб скорости газа удобно принимать критическую скорость; такая безразмерная величина называется приведенной скоростью:

, (4.46)

где значение Т^* вычисляется в точке потока, к которой относится скорость с. Приведенная скорость однозначно связана с числом М. Действительно:

, (4.47)

или:

. (4.48)

Из (4.47) видно, что при М = 0 величина λ = 0, а при М = 1,0 она равна λ = 1,0. При М→∞ величина λ стремится к предельному значению:

, (4.48^*)

которое зависит только от показателя адиабаты к. Зависимость λ от М показана на рис.4.7.

4.9.2 Газодинамические функции. Газодинамическими функциями называют безразмерные параметры потока, зависящие от приведенной скорости λ (и числа М). К ним, в частности, относятся:

- относительная температура:

; (4.49)

- относительное давление:

; (4.50)

- относительная плотность

. (4.51)

Рассмотренные функции характеризуют изменение параметров состояния газа. Очевидно, что при λ = 0 (М = 0) эти функции равны 1, а при λ → λ_пред. (М →∞) стремятся к нулю (рис. 4.8).

Важное значение имеют и газодинамические функции, характеризующие расход газа. К ним относится относительная плотность тока:

. (4.52)

Величина q(λ) связана с расходом газа следующим образом:

. (4.53)

Подставляя значения ρ_кр. (4.21) и с_кр. (4.22) в уравнение (4.53) после преобразований, получим:

, (4.54)

где . Обозначим далее и окончательно получим:

. (4.55)

Как следует, величина m зависит только от рода газа (R, k). Например, для воздуха при k = 1,4 значение m = 0,0404, а при k = 1,33 - m=0,0396.

Иногда расход газа удобно выражать через статическое давление р. В этом случае используют газодинамическую функцию:

. (4.56)

Нетрудно видеть, что в этом случае:

. (4.57)

Зависимости q(λ) и y(λ) от λ показаны на рис. 4.9. Здесь следует обратить внимание на то, что каждому значению функции q(λ) соответствуют два значения аргумента: λ₁<1 (или М₁ < 1) и λ₂ > 1 (или М₂ > 1); при λ = 1 (в критическом сечении) q(λ) = 1,0.

Таблицы газодинамических функций, рассчитанные для различных значений k, в ряде случаев существенно упрощают анализ и расчет газовых потоков.

Контрольные вопросы

1. Запишите уравнение неразрывности для стационарных и нестационарных условий и дайте его анализ.

2. Запишите уравнения первого закона термодинамики для потока газа и дайте их анализ.

3. Запишите различные формы уравнения сохранения энергии для газового потока.

4. Запишите выражения для полной температуры и полного давления.

5. Какие параметры потока называются критическими? Запишите уравнение для критической скорости потока.

6. Запишите частные случаи уравнения сохранения энергии (турбина, компрессор, камера сгорания, теплообменный аппарат).

7. Запишите уравнение Бернулли для частного случая газовой турбины и компрессора. Дайте определение располагаемой работы.

8. Запишите уравнения для полной температуры и полного давления в потоке газа и дайте его анализ.

9. Дайте определение приведенной скорости потока λ. В чем ее отличие от числа Маха? Запишите уравнение, связывающее приведенную скорость λ и число Маха.

10. Дайте определение политропной работы газового потока.

11. Запишите уравнения газодинамических функций давления, температуры и расхода потока.