4.7 Обобщенное уравнение бернулли

Вычтем из уравнения сохранения энергии (4.10) уравнение первого закона термодинамики для потока газа в форме (4.5), учитывая, что dq_r = dl_r .Тогда получим:

. (4.36)

Уравнение (4.36) называется обобщенным уравнением Бернулли. Интегрируя (4.36) от начального сечения 1 до конечного сечения 2 (рис. 4.2), получим интегральную форму этого уравнения:

. (4.37)

Интеграл в правой части уравнения (4.37) называют располагаемой работой, а величину υ·dр – элементарной располагаемой работой. Располагаемая работа на р-υ диаграмме (рис. 4.6) эквивалентна площади между осью ординат и кривой процесса (площадь 1-2-b-a). Она представляет собой разность работы расширения потока и работы проталкивания p₁v₁ – p₂v_2.

Обобщенное уравнение Бернулли можно интерпретировать, как баланс механических форм энергии в газовом потоке. Теплота не входит в это уравнение в явном виде, но она оказывает влияние на перераспределение энергии между отдельными ее слагаемыми. Все величины в уравнениях (4.36) и (4.37) отнесены к 1 кг газа (Дж/кг).

Для компрессора l_вн = - l_к, поэтому можно записать:

. (4.38)

Следовательно, внешняя работа, подводимая в компрессоре к газу, идет на располагаемую работу, изменение кинетической энергии потока и на работу по преодолению сил трения.

В случае турбины: l_вн. = l_r, поэтому:

(4.39)

Следовательно, в турбине (dр < 0) располагаемая работа расходуется на совершение внешней работы (работы на валу турбины), увеличение кинетической энергии газа и преодоление гидравлических потерь.

При течении газа в каналах (воздухо- и газопроводы) l_вн. = 0 и в этом случае:

. (4.40)

Если течение происходит без трения, то:

− υ·dр = с·dс. (4.41)

Из последнего выражения следует, что в таком потоке разгон газа (dс > 0) возможен лишь при понижении его давления (dр < 0), а торможение (dс < 0) сопровождается ростом давления (dр > 0). Наличие трения, естественно, сказывается количественно на параметрах потока. Например, при заданном уровне понижения давления наличие трения (l_r > 0) снизит прирост скорости потока (4.40) и, наоборот, в случае торможения потока при заданном уровне понижения скорости при наличии трения давление будет возрастать в меньшей степени, чем без трения.

Величина располагаемой работы может быть вычислена, когда известно уравнение процесса. Если процесс политропный, подчиняющийся уравнению (2.48), то, подставляя значение υ из этого уравнения в интеграл (1, 2 – начало и конец термодинамического процесса), после несложных преобразований можно найти:

, или .

Полученные выражения называют политропной работой газового потока.

4.8 Изменение полной температуры и полного давления

В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ

Об изменении полной температуры Т^* в потоке идеального газа можно судить по уравнению сохранения энергии (4.24*), которое представим в виде:

(4.42)

Таким образом, полная температура потока может изменяться только при подводе или отводе внешней энергии в форме теплоты или эффективной работы. Поэтому полная температура косвенно характеризует запас полной энергии газового потока. В случае энергоизолированного потока, как было показано dТ^* = 0. Наличие сил трения не влияет на величину полной температуры, т.к. теплота сил трения компенсируется работой против сил трения.

Рассмотрим изменение полного давления. Логарифмируя выражение (4.15) и далее дифференцируя:

. (4.43)

Согласно (4.5):

,

откуда:

. (4.44)

Подставляя (4.42) и (4.44) в (4.43), окончательно получим:

,

или:

. (4.45)

Из полученных уравнений можно сделать следующие выводы:

- В энергоизолированном потоке (q_вн. = 0, l_вн. = 0) при отсутствии трения (l_r = 0) полное давление не изменяется (dр* = 0).

- Полное давление потока уменьшается при наличии трения, при подводе внешней теплоты и совершении газом внешней работы (например, в турбине). Уменьшение полного давления газового потока без совершения внешней работы означает уменьшение его работоспособности при данном запасе энергии.

Отметим, что степень уменьшения полного давления при подводе теплоты тем больше, чем выше число Маха. Действительно, из уравнения (4.45) следует, что чем больше число М, тем больше разность и поэтому выше величина |− dр^*|.

Уменьшение полного давления при подводе теплоты к газу называют тепловым сопротивлением. Уменьшение р* при уменьшении l_вн. (например, в турбине) не означает диссипации энергии, так как это уменьшение сопровождается совершением полезной работы.