4.3 Уравнение сохранения энергии газового потока

Уравнение сохранения энергии газового потока выводится на основе первого закона термодинамики, но в отличие от уравнения в форме (4.4) оно записывается в неподвижной системе координат.

Составим баланс энергии для массы газа, заключенной между сечениями 1 и 2 (рис.4.2), которая за некоторый небольшой промежуток времени переместилась в положение 1' – 2'. На основании закона сохранения и превращения энергии внешняя энергия, подведенная к рассматриваемой массе газа извне, приведет к изменению ее внутренней энергии и, кинетической е_кин. и потенциальной е_пот. энергии.

Полное количество энергии, подведенное к газу, складывается из теплоты и работы внешних сил l_Σ, т.е.:

q − l_Σ = Δи + Δе_кин. + Δе_пот. . (4.6)

Напомним, что согласно правилу знаков принятому в термодинамике работа, подведенная к телу, считается отрицательной, а работа, совершенная телом, – положительной.

Изменение любого вида энергии равно разности этого вида энергии в положениях 1-2 и 1'–2'. Поскольку движение, установившееся в объеме 1' – 2 является общим для обоих положений, то изменение каждого вида энергии будет определяться разностью ее количеств в объемах 1 – 1' и 2 – 2'. Нетрудно видеть, что масса газа в объемах 1 – 1' и 2 – 2' одинакова. Для упрощения выкладок примем, что она равна 1 кг. Будем считать, что перемещения Δх₁ и Δх₂ малы и, поэтому, параметры газа внутри каждого из этих объемов одинаковы. Тогда:

Δи = и₂ – и₁ , , Δе_пот. = g(H₂ – H₁). (4.7)

Работа l_Σ состоит из работы сил трения, работы проталкивания и внешней (эффективной) работы:

l_Σ = l_r + l_прот. + l_вн. (4.7*)

Работа сил трения полностью переходит в тепло трения, поэтому, l_r = q_r. Работа проталкивания производится внешними по отношению к выделенному объему силами давления: в сечении 1 – давлением р₁, а в сечении 2 – р₂. Силы давления, действующие на боковую поверхность потока, работы не производят, так как они нормальны к траекториям движения частиц газа. Сила давления в сечении 1 совершает работу над выделенным объемом газа (– р₁F₁Δx₁) = − р_1·υ₁, а в сечении 2 газ в рассматриваемом объеме совершает работу против силы р₂ F₂. Тогда: р₂ F₂ Δx₂ = р_2·υ₂ и l_прот. = р₂υ₂ − р₁υ₁.

Внешняя (эффективная) работа – это работа, сообщаемая газу (или получаемая от него) внешними источниками или потребителями механической энергии (турбина, компрессор, насос и др.). Она является результатом воздействия гидродинамических сил газового потока на тела, перемещающиеся в этом потоке (например, лопатки турбины или компрессора). Подставляя (4.7) и (4.7*) в (4.6) и раскрывая величины q и l_прот, получим:

.

Поскольку q_r = l_r , а энтальпия i = и + р·υ , то далее имеем:

. (4.8)

Уравнение (4.8) представляет собой уравнение сохранения энергии для газового потока, в котором все величины отнесены к 1 кг газа (Дж/кг). Это уравнение соблюдается для любых рабочих тел при стационарном движении, как при наличии трения, так и без него.

Для газовых потоков в элементах энергетических машин изменением потенциальной энергии можно пренебречь вследствие ее малости. Поэтому, в дальнейшем уравнение сохранения энергии будем использовать в следующем виде:

, (4.9)

или в дифференциальной форме

. (4.10)

Уравнение сохранения энергии в форме (4.9) формулируется следующим образом: внешняя энергия, подведенная к потоку газа в форме теплоты и работы, расходуется на изменение энтальпии и кинетической энергии газа.

В случае идеального газа i₂ – i₁ = с_р·(Т₂ – Т₁), поэтому для идеального газа уравнение (4.9) можно также представить в виде:

, (4.11)

или в дифференциальной форме:

. (4.12)