3.5 Свойства обратимых и необратимых циклов

3.5.1 Обратимые циклы. На основании уравнений (3.3) и (3.7) для идеального обратимого цикла Карно можно записать:

, (3.8)

откуда:

. (3.9)

Величину в изотермическом процессе или в бесконечно малом термодинамическом процессе называют приведенной теплотой. В уравнении (3.9): q₂ – величина отрицательная (отведенная теплота), поэтому выражение (3.9) можно рассматривать как алгебраическую сумму приведенных теплот. Отсюда следует, что в идеальном обратимом цикле Карно алгебраическая сумма приведенных теплот равна нулю.

Рассмотрим произвольный обратимый цикл (рис.3.4). Его можно представить как совокупность бесконечно большого числа элементарных обратимых циклов Карно, каждый из которых состоит из двух адиабат и двух бесконечно малых изотерм. По каждой изотерме происходит подвод или отвод элементарной теплоты dq_i при соответствующей температуре T_i. Обратимое осуществление такого произвольного цикла требует наличия бесконечно большого количества теплоприемников и теплоотдатчиков с различными температурами.

Покажем, что рассматриваемая совокупность элементарных циклов Карно эквивалентна исходному произвольному циклу. Так как работа расширения и сжатия в совпадающих адиабатных процессах двух соседних элементарных циклов Карно взаимно компенсируется, то суммарная работа элементарных циклов Карно будет равна алгебраической сумме работ расширения и сжатия всех элементарных изотермических процессов. Если число элементарных циклов стремится к бесконечности, то эта сумма равна работе исходного произвольного цикла.

В соответствии с уравнением (3.9) для каждого элементарного цикла Карно можно записать

. (3.10)

Если просуммировать уравнение (3.10) для всех элементарных циклов Карно, то, полагая, что i→∞, можно записать:

, (3.11)

или

, (3.12)

где обозначает интеграл, взятый по всему замкнутому контуру рассматриваемого цикла. Выражение (3.12) означает, что интегральная сумма приведенных теплот в произвольном обратимом цикле равна нулю. Это уравнение получено Р. Клаузиусом в 1834 г. и представляет собой математическое выражение второго закона термодинамики для обратимого цикла и называется первым интегралом Клазиуса.

3.5.2 Необратимые циклы. В необратимом цикле Карно, осуществляемом при равных с обратимым циклом значениях Т₁ и Т₂, термический к.п.д цикла будет меньше, чем у обратимого, так как необратимость приводит к уменьшению полезной работы η_tнеобр < η_tобр, или:

. (3.13)

Откуда:

и . (3.14)

Таким образом, в необратимом цикле Карно алгебраическая сумма приведенных теплот имеет отрицательное значение.

Для произвольного необратимого цикла, используя замену его на совокупность бесконечно большого числа элементарных циклов Карно, все из которых или часть их являются необратимыми, получим

^. (3.15)

Следовательно, интегральная сумма приведенных теплот в произвольном необратимом цикле отрицательна. Выражение (3.15) представляет собой математическое выражение второго закона термодинамики для произвольного необратимого цикла и называется вторым интегралом Клаузиуса.

3.6 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ ИЗМЕНЕНИЕ В ОБРАТИМЫХ

И НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССАХ

Из математики известно, что если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то подинтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции. Для подинтегральной функции из (3.12) введем следующее обозначение:

. (3.16)

Тогда для обратимого кругового процесса можно записать:

. (3.17)

Функция s, полный дифференциал которой равен (dq – теплота в обратимом процессе), называется энтропией.

Очевидно, что величина интеграла , определенная для любого обратимого процесса перехода вещества из состояния 1 в состояние 2 (рис. 3.5), представляет собой изменение энтропии рабочего тела в рассматриваемом процессе. Изменение энтропии не зависит от пути процесса, а зависит только от параметров рабочего тела в начальном и конечном состоянии. Действительно:

,

но так как:

^,

то, следовательно:

(3.18)

Таким образом, энтропия является функцией состояния, величина которой однозначно определяется параметрами состояния. Отметим, что через s обозначается удельная энтропия, т.е. энтропия, отнесенная к 1 кг вещества ; а энтропия, отнесенная к произвольному количеству вещества, обозначается через .

Если в термодинамическую систему входит несколько тел, энтропии которых равны S₁, S₂, …, S_n , то энтропия системы в равна:

S_сист = S₁+ S₂ +… + S_n (3.19)

Из (3.16) следует, что энтропия отдельного тела или системы тел в обратимых термодинамических процессах может как возрастать, так и уменьшаться. Так как абсолютная температура Т всегда положительна, то подводу теплоты к телу или системе тел (dq > 0) соответствует возрастание энтропии (ds > 0), а отводу теплоты (dq<0) - уменьшение энтропии (ds < 0).

Определим величину энтропии какого-либо вещества путем интегрирования выражения (3.16):

^, (3.20)

где s₀ – постоянная интегрирования.

В термодинамических расчетах определяется не абсолютное значение энтропии, а ее изменение Δs в процессе, определяемое по уравнениям (3.18). Из (3.19) следует, что изменение энтропии термодинамической системы определяется как алгебраическая сумма изменений энтропии всех тел, входящих в систему. Тогда

ΔS_сист = ΔS₁ + ΔS₂ + … + ΔS_n. (3.21)

Выведем уравнения для определения изменения энтропии в процессах с идеальными газами. Подставив в (3.16) величину dq из (2.13), получим:

. (3.22)

Поскольку для идеального газа

, (3.23)

то:

. (3.24)

Интегрирование (3.24) при постоянной теплоемкости c_υ позволяет получить:

. (3.25)

Из уравнения состояния для идеального газа следует:

(3.26)

Подставив (3.26) в (3.25), после простых преобразований получим:

. (3.27)

Уравнения (3.25) и (3.27) позволяют определить изменения энтропии в обратимом термодинамическом процессе идеального газа, если известны параметры состояния газа в исходной и конечной точках процесса.

Рассмотрим особенности изменения энтропии в необратимых процессах. Пусть рабочее тело переходит из состояния 1 (рис. 3.5) в состояние 2 произвольным необратимым процессом 1-а-2 и затем возвращается в исходное состояние обратимым процессом 2-b-1. Очевидно, что цикл 1-а-2-b-1 является необратимым и для него справедливо неравенство

, или .

Интеграл , взятый по обратимому процессу 2-b-1, в соответствии с (3.18) равен разности энтропий s₁ – s₂. Тогда:

, или

(3.28)

Таким образом, в необратимых процессах изменение энтропии всегда больше интегральной суммы приведенных теплот данного процесса.

В дифференциальной форме уравнение (3.28) имеет вид:

. (3.29)

Соотношения (3.16) и (3.29) можно объединить в одно выражение:

, (3.30)

где знак равенства относится к обратимым процессам, а знак неравенства – к необратимым.

Выражение (3.30) рассматривается как аналитическая запись второго закона термодинамики.