6.5 Реалізація лінійного під-закону регулювання

а) з охопленням зворотнім зв’язком ВМ постійної швидкості:

Рисунок 6.14 – Структурна схема ПІД-регулятора з охопленням ВМ ЗЗ

В лінійних законах регулювання використовуються лінійні математичні операції: множення, ділення, додавання, інтегрування, диференціювання.

К₁ – операційний підсилювач (його наявність приводить до утворення граничної системи, якщо ЗЗ негативний).

Оскільки в прямому ланцюзі знаходиться ОП, що охоплений негативним ЗЗ, то в граничній системі ПІД-закон регулювання формується в ланці ЗЗ. Тому:

1-й крок: визначимо передатну функцію ланцюга ЗЗ, що формує ПІД-закон:

Основне рівняння граничної системи

Реальна диф. ланка

Інерційна ланка

Тут Т₁ і Т₂ – це постійні часу ланок ЗЗ.

2-й крок: визначимо еквівалентну передатну функцію структури для реального регулятора:

.

3-й крок: виділимо у виразі для W_ЕКВ(s) передатні функції ідеального ПІД-регулятора і його баластної ланки, для чого поділимо чисельник і знаменник на комплекс і приведемо вираз до загального знаменника:

.

виділимо передатні функції ПІД-регулятора і баластної ланки:

4-й крок: проаналізуємо властивості реального ПІД-регулятора при K₁ = const.

1. Якщо позначити Т₁+Т₂ через параметр налаштування Т_И, то одержимо передатну функцію ідеального ПІД-регулятора:

,

, ,

Висновок 1: параметри налаштування Т_Д, Т_И, К_Р взаємозв’язані, тобто зміна одного з параметрів налаштування призводить до зміни інших.

2. Проаналізуємо властивості баластної ланки, для чого запишемо її передатну функцію у вигляді передатної функції інерційної ланки другого порядку:

а)

K₁ у виразі для коефіцієнта передачі знаходиться і в чисельнику, і в знаменнику, тобто є невизначеність виду . Для граничної системи можна визначити , використавши правило Лопіталя (для чого і чисельник, і знаменник ділимо на K₁), і перевести невизначеність у знаменник виразу. Звідки граничне значення для K₁→∞.

Висновок 2: в граничній системі коефіцієнт баластної ланки наближається до одиниці.

б)

Висновок 3: в граничній системі постійна часу баластної ланки наближається до нуля.

Висновок 4: в реальному регуляторі при K₁ = const, перша постійна часу залежить від всіх параметрів, що входять до її виразу, а саме

в) Друга постійна часу баластної ланки зв’язана з першою постійною часу через вираз:

Висновок 5: постійні часу баластної ланки зв’язані між собою через параметр налаштування регулятора – постійну часу диференціювання Т_Д, тому можливі такі ситуації, коли інерційна ланка другого порядку стає нестійкою.

В залежності від співвідношення і можливі 4 види кривих розгону інерційної ланки другого порядку (рисунок 6.15):

г) .

а) б) в) г)

Рисунок 6.15 – Криві розгону інерційних ланок другого порядку

Висновок 6: в залежності від співвідношення і можливі стійкі і нестійкі перехідні процеси в баластній ланці, причому вигляд перехідних процесів залежить від значення Т_Д.

3. Визначимо граничне співвідношення між параметрами Т_И і Т_Д:

Як було показано раніше, Т_Д і Т_И зв’язані між собою через параметри ланки ЗЗ Т₁ і Т₂, тому можна записати:

,

оскільки Т₁ і Т₂ входять і в чисельник і в знаменник, то визначимо граничне значення цього відношення:

.

Висновок 7: максимальне співвідношення Т_Д/Т_И можливо лише при Т₁ = Т₂, у інших випадках відношення буде менше 0,25 , тобто Т_Д/Т_И ≤ 0,25.

4. Визначимо характеристики перехідних процесів у баластній ланці.

З дисципліни ТАУ відомо, що характер перехідного процесу залежить від значення коренів характеристичного рівняння.

Визначимо корені характеристичного рівняння.

Характеристичне рівняння будь-якої ланки записується шляхом прирівнення нулю знаменника передатної функції і заміни оператора Лапласа на літеру «р»:

.

Визначимо дискримінант квадратного рівняння і, якщо його корні дійсні, то ланка стійка, якщо корні уявні – ланка нестійка:

.

Вираз у перший дужці завжди позитивний, тому ми визначимо знак виразу в другій дужці:

Т.ч., вираз у другій дужці завжди від’ємний при будь-яких Т₁ і Т₂.

Висновок 8: дискримінант характеристичного рівняння від’ємний, корні характеристичного рівняння містять реальну і уявну частину, тому ця баластна ланка є інерційною ланкою другого порядку з коливально-затухаючим перехідним процесом. Крива розгону даного ідеального ПІД-регулятора має вигляд, зображений на рисунку 6.16,а.

реальний

ідеальний

М

t

К_Р/Т_И

К_Р

К_Д/Т_И

ОНР

а) б)

Рисунок 6.16 – Крива розгону (а) і його ОНР (б) реального ПІД-регулятора

Висновок 9: при кінцевих значеннях коефіцієнта передачі ОП K₁ крива розгону ПІД-регулятора може бути коливальною затухаючою, а при нескінченно великих значеннях коефіцієнта ОП K₁ крива розгону буде близькою до ідеальної.

Тобто, для формування ПІД-закону в промислових регуляторах необхідно використовувати високоякісні операційні підсилювачі.

ОНР для ПІД-регулятора з трьома параметрами налаштування є тривимірною фігурою і її потрібно графічно зображувати у трьох координатах K_Р, Т_И, Т_Д. Для того, щоб перейти до двовимірного зображення, використовують накладання перетинів при фіксованих Т_Д (рисунок 6.16,б). Для кожного значення Т_Д можна знайти дозволені значення K_Р, при яких ∆M(ω) < 10%, а ∆Θ(ω) < 15º, де ∆M(ω) – різниця між модулями КЧХ реального і ідеального ПІД-регулятора, ∆Θ(ω) – різниця між фазами КЧХ.

б) без охоплення зворотнім зв’язком ВМ постійної швидкості

Оскільки ВМ не охоплений зворотнім зв’язком, і за своєю природою є інтегральною ланкою, то, виходячи з методу послідовної корекції, КПП повинен формувати ПДД²-закон перетворення вхідного сигналу (рисунок 6.17).

1-й крок. Оскільки ми використовуємо граничну систему в КПП, то визначимо передатну функцію ланцюга ЗЗ:

рисунок 6.17 – Структурна схема ПІД-регулятора без охопленням ВМ ЗЗ

.

якщо винести за дужки K_П і позначити його як 1/K_ЗЗ, то знаменник можливо записати як рівняння другого порядку, т.ч. можна стверджувати, що в ЗЗ граничної системи потрібно встановити інерційну ланку другого порядку з аперіодичною кривою розгону.

2-й крок. Визначимо властивості реального ПІД-регулятора, для цього запишемо еквівалентну передатну функцію:

Винесемо за дужки загальний знаменник у знаменнику і, відповідно, після цього ми приходимо до вигляду інерційної ланки другого порядку, потім поділимо на K₁∙ K_ЗЗ, т.ч. у знаменнику є щось подібне до інерційної ланки другого порядку.

3-й крок: Розкриємо дужки, виділимо окремо передатні функції ідеального ПІД-регулятора та баластної ланки, для чого домножимо чисельник і знаменник на і одержимо досить складний вираз:

4-й крок: Проаналізуємо властивості одержаного ПІД-регулятора:

1. Порівняємо передатні функції ідеального ПІД-регулятора і W_EKB(s):

де , .

Висновок 1: параметри налаштування регулятора Т_И, K_P визначаються через параметри ланки ЗЗ і ВМ.

Висновок 2: параметри налаштування регулятора Т_И, K_P є взаємозв’язаними.

Аналогічно, параметр налаштування регулятора Т_Д жорстко залежить від К_Р і Т_И:

Висновок 3: всі параметри налаштування регулятора К_Р, Т_И, Т_Д взаємозв’язані, тобто, змінюючи один параметр, автоматично змінюються інші.

2. Проаналізуємо властивості баластної ланки (визначимо, наскільки вона спотворює закон регулювання):

.

Висновок 4: Баластна ланка – це інерційна ланка другого порядку, яка може бути аперіодичною, коливальною, нестійкою, залежно від коренів характеристичного рівняння:

.

Висновок 5: Коефіцієнт передачі баластної ланки в граничній системі наближається до одиниці, тобто баластна ланка не змінює амплітуду регулюючого сигналу.

Запишемо рівняння для і :

.

Висновок 6: в ідеальній (граничній) системі з якісним ОП (K₁ > 10000) постійні часу баластної ланки Т_БАЛ1 і Т_БАЛ2 наближаються до 0, тобто баластна ланка в граничній системі є пропорційною ланкою з = 1.

Висновок 7: в реальному регуляторі постійні часу баластної ланки відмінні від нуля і визначаються параметрами налаштування регулятора, ВМ і ОП.

3. Визначимо граничне співвідношення між параметрами Т_И і Т_Д:

Як було показано раніше, Т_Д і Т_И зв’язані між собою через параметри ланки ЗЗ Т₁ і Т₂, тому можна записати:

,

оскільки Т₁ і Т₂ входять і в чисельник і в знаменник, то визначимо граничне значення цього відношення:

.

Висновок 7: максимальне співвідношення Т_Д/Т_И можливо лише при Т₁ = Т₂, у інших випадках відношення буде менше 0,25 , тобто Т_Д/Т_И ≤ 0,25.

4. Визначимо характеристики перехідних процесів у баластній ланці.

З дисципліни ТАУ відомо, що характер перехідного процесу залежить від значення коренів характеристичного рівняння.

Визначимо корені характеристичного рівняння.

Характеристичне рівняння будь-якої ланки записується шляхом прирівнення нулю знаменника передатної функції і заміни оператора Лапласа на літеру «р»:

.

Визначимо дискримінант квадратного рівняння і, якщо його корні дійсні, то ланка стійка, якщо корні уявні – ланка нестійка:

.

Вираз у перший дужці завжди позитивний, тому ми визначимо знак виразу в другій дужці:

Т.ч., вираз у другій дужці завжди від’ємний при будь-яких Т₁ і Т₂.

Висновок 8: дискримінант характеристичного рівняння від’ємний, корні характеристичного рівняння містять реальну і уявну частину, тому ця баластна ланка є інерційною ланкою другого порядку з коливально-затухаючим перехідним процесом. Крива розгону даного ідеального ПІД-регулятора має вигляд, зображений на рисунку 6.16,а.

реальний

ідеальний

М

t

К_Р/Т_И

К_Р

К_Д/Т_И

ОНР

а) б)

Рисунок 6.16 – Крива розгону (а) і його ОНР (б) реального ПІД-регулятора

Висновок 9: при кінцевих значеннях коефіцієнта передачі ОП K₁ крива розгону ПІД-регулятора може бути коливальною затухаючою, а при нескінченно великих значеннях коефіцієнта ОП K₁ крива розгону буде близькою до ідеальної.

Тобто, для формування ПІД-закону в промислових регуляторах необхідно використовувати високоякісні операційні підсилювачі.

ОНР для ПІД-регулятора з трьома параметрами налаштування є тривимірною фігурою і її потрібно графічно зображувати у трьох координатах K_Р, Т_И, Т_Д. Для того, щоб перейти до двовимірного зображення, використовують накладання перетинів при фіксованих Т_Д (рисунок 6.16,б). Для кожного значення Т_Д можна знайти дозволені значення K_Р, при яких ∆M(ω) < 10%, а ∆Θ(ω) < 15º, де ∆M(ω) – різниця між модулями КЧХ реального і ідеального ПІД-регулятора, ∆Θ(ω) – різниця між фазами КЧХ.