Контрольная работа № 3 Для студентов 2 курса заочного факультета экономистов теория вероятностей

1. Из колоды наугад вынимаются две карты. Найти вероятность того, что обе вынутые карты имеют красную масть.

2. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма очков будет равна 11?

3. Из колоды наугад вынимаются две карты. Найти вероятность того, что обе вынутые карты тузы.

4. Из колоды вынимаются две карты. Найти вероятность того, что вынутые карты король и дама.

5. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма очков будет нечетной?

6. Игральная кость бросается три раза. Какова вероятность того, что сумма очков будет равна 4?

7. Игральная кость бросается три раза. Какова вероятность того, что сумма очков будет делиться на 3?

8. Из колоды наугад вынимаются две карты. Найти вероятность того, что обе вынутые карты имеют красную масть или тузы.

9. Из колоды наугад вынимаются две карты. Найти вероятность того, что обе вынутые карты имеют красную масть и являются тузами.

10. Из колоды наугад вынимаются три карты. Найти вероятность того, что вынутые карты имеют красную масть.

11. Вероятность обнаружения туберкулеза при одной рентгеноскопии примерно равна 0,75. Чему равна вероятность, что заболевание будет раскрыто при трех рентгеноскопиях?

12. В ящике 12 белых и 10 красных шаров, одновременно вынимаются 2 шара. Какова вероятность того, что они оба разных цветов?

13. Зашедший в магазин мужчина что – нибудь покупает с вероятностью 0,1, женщина – 0,6. У прилавка один мужчина и одна женщина. Какова вероятность того, что будет сделана хотя бы одна покупка?

14. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпадет единица, если известно, что на второй выпало очков больше, чем на первой?

15. Даны две урны. В первой 5 белых и 5 черных, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Наугад выбирается урна и из нее с возвращением вынимаются два шара. Пусть А - событие, состоящее в том, что выбирается 1-ая урна. Как изменится вероятность события А , если известен ход эксперимента?

16. В семье четверо детей. Известно, что вероятность рождения мальчика 0,515. Найти вероятность того, что среди детей все мальчики.

17. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее на удачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более трех раз.

18. Три завода производят одинаковые изделия. Вероятность того, что изделие с первого завода будет бракованное 0,013, со второго – 0,016, с третьего – 0,02. После того как первый завод поставил 45% всех изделий, второй – 40%, изделия оказались перемешанными. Случайно выбранное изделие оказалось бракованное. Найти вероятность, что оно было с третьего завода.

19. Три стрелка сделали по выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в мишень первого стрелка 0,5, второго – 0,6, третьего – 0,7. Какова вероятность, что в мишени будет ровно две пули?

20. Из урны, в которой один белый и три черных шара перекладывают один шар в урну, в которой три белых и один черный шар, после чего из урны его вынимают. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется белым.

21. В группе 8 юношей и 16 девушек. Группу разбивают на 3 подгруппы. Какова вероятность того, что в одной подгруппе будут только юноши?

22. Малышу, не умеющему читать, дали кубики с буквами А, Е, З, З, Ч, Т. Ребенок складывает слова из пяти кубиков. Какова вероятность того, что он сложит слово ЗАЧЕТ?

23. Какова вероятность того, что три карты, сданные играющему в игру “двадцать одно” из колоды в 36 карт, будут “шестеркой”, ”семеркой”, “восьмеркой”?

24. Из 50 экзаменационных вопросов студент готов ответить, увы, только на 20. Какова вероятность того, что ему попадется счастливый билет, если в билете 2 вопроса?

25. Девяти игрокам раздается по очереди 36 карт. Какова вероятность, что каждому достанутся только “шестерки”, ”семерки” и т.д.?

26. Вы заполнили карточку “Лотто- Миллион” простейшим образом, то есть отмечая 6 чисел из 49. Какова вероятность того, что Вы станете обладателем главного приза. Как изменится вероятность победы, если Вы отметите семь чисел из 49 (играют любые шесть из них).

27. Четыре игрока разделили колоду поровну. Какова вероятность того, что каждый получит только одну масть?

28.В купе поезда шесть мест - три по движению и три против. Двое из шести пассажиров предпочитают сидеть лицом по движению, двое против. Остальным безразлично как сидеть. Какова вероятность того, что случайным образом рассаженные пассажиры будут удовлетворены рассадкой?

29.Найдите сумму всех четырехзначных чисел, которые получаются при перестановке цифр 1, 2, 3, 4.

30.Найдите сумму трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4.

31.Телефонная станция получает в среднем 20 вызовов в минуту. Какова вероятность того, что за 6 секунд станция получит ровно 63 вызова?

32.Производится 500 испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события А равна p = 0.3. Какова вероятность того, что частота наступления события А m/n отклонится от его вероятности менее, чем на 0.05:P(-0.05 < m/n – p < 0.05)?

33.Задача шевалье Де Мере. Какова вероятность того, что при 24 –кратном бросании двух игральных костей хотя бы один раз появятся две шестерки?

34.Вероятность встретить на улице своего преподавателя, допустим, 0.002. Какова вероятность, что среди 1200 встреченных Вами на улице людей Вы встретите одного преподавателя? Двух преподавателей?

35.В страховой фирме застраховано 10000 клиентов одного возраста и одной социальной группы, вероятность смерти любого из которых 0.006. Каждый клиент 1 января делает страховой взнос в размере 12 условных денежных единиц. Если в течение года он умирает, то фирма выплачивает страховую премию в размере 1000 условных денежных единиц. Чему равна вероятность того, что фирма разорится?

36.Вероятность того, что изделие не пройдет контроля 0.125. Какова вероятность того, что среди 12 изделий не будет ни одного забракованного?

37.Сколько надо произвести бросаний правильной монеты, чтобы с вероятностью 0.99 относительная частота отличалась от 0.5 не более чем на 0.01?

38.Какова вероятность, что в группе, состоящей из 30студентов никто не родился в январе? Вычислить вероятность двумя способами и проанализировать результаты.

39.Студент, сдающий сессию должен сдать 4 экзамена. Вероятность того, что он сдаст первый экзамен 0.9, второй 0.95, третий 0.8, четвертый 0.7. Какова вероятность того, что он сдаст сессию без «двоек»?

40.В большом городе в год рождается 20000 детей. Считая вероятность рождения мальчика 0.51, найти число t, чтобы с вероятностью 0.99 можно было утверждать, что число рожденных в городе мальчиков превышает число девочек не менее чем на t.

41.Найти постоянную С и функцию распределения F(x) случайной величины с плотностью Построить графики плотности и функции распределения.

42. Найти постоянную С и функцию распределения (x) случайной величины с плотностью . Найти вероятность того, что примет значения из интервала [0, 1].

43. Найти постоянную С, если случайная величина имеет плотность:

(Это распределение известно как гамма – распределение. Построить график p(x) , значение параметра а выбрать равным 1.

44.Найти постоянную С и функцию распределения случайной величины с плотностью

(Это равномерное распределение). Построить графики p(x) и F(x).

45.Найти постоянную С, если случайная величина имеет плотность распределения

(Полунормальное распределение). .Найти вероятность того, что примет значения из интервала [0, 1]. Построить график p(x).

46.Найти постоянную С, если случайная величина имеет плотность распределения

(Это распределение известно как хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы). Построить график p(x).

47.Функция распределения случайного времени безотказной работы аппаратуры имеет вид

(экпоненциальный закон распределения). Найти плотность распределения и вероятность того, что прибор будет работать 100 единиц времени ( Т выбрать равной 2).

48. Найти постоянную С, если случайная величина имеет плотность распределения

(распределение Вейбулла с параметрами 2 – так называемый параметр

масштаба, С – параметр формы). Построить график p(x).

49. Найти постоянные А и B, плотность распределения случайной величины с функцией распределения F(x) = A+B arctg(x/2) (закон распределения Коши). Найти вероятность того, что примет значения интервала [-1, 1].

50. Случайная величина имеет плотность

(показательное распределение). Найти F(x) и построить график. Найти вероятность того, что примет значение из интервала [0, 2].

51. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке, ее плотность распределения определяется как

Найти М , М , D .

52. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины с плотностью

53. Случайная величина имеет значение –1, 0,1 с вероятностями p , p , p , M , D . Найти p , p , p .

54. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет герб. Найти математическое ожидание.

55. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , имеющей распределение Пуассона: m = 1, 2,…

56. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины с плотностью

57. Случайная величина принимает значение x , x c вероятностями p и 0,3, M , D . Найти x , x , p .

58. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей функцию распределения

59. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , если случайная величина имеет стандартное нормальное распределение.

60.Случайная величина имеющая равномерное распределение на интервале имеет Найти значения

61.Дана последовательность независимых случайных величин Случайная величина может принимать значения –k, 0, k с вероятностьями Применим ли к этой последовательности случайных величин закон больших чисел?

62.Случайные величины и независимы, Оценить вероятность того, что сумма этих величин принимает значения, лежащие на расстоянии, большем 2 от 0.

63. В предположении, что размер одного шага пешехода равномерно распределен в интервале от 70 см до 80 см и размеры разных шагов независимы, найти вероятность того, что за 10000 шагов он пройдет не менее 7, 49 км и не более 7,51.

64. Независимые случайные величины имеют дисперсию 1/2 и нулевые средние. Оценить вероятность того, что сумма 10 таких величин принимает значения, лежащие на расстоянии, большем 2 от 0.

65. Дана последовательность независимых случайных величин . Случайная величина может принимать значения –k, 0, k с вероятностями P( = - k) = 1/(2k), P( = 0) = 1 – 1/k, P( = k) = 1/(2k). Применим ли к этой последовательности случайных величин закон больших чисел?

66. Про случайную величину известно, что плотность распределения – симметричный, относительно точки x = 0, график, D = ¼. Оценить P( ).

67. Случайные величины имеют нормальное распределение N(0, 1). Какова вероятность того, что сумма 10000 таких случайных величин будет принимать значения из интервала [- 100, 200]?

68. Случайные величины и независимы, имеют дисперсию1 и нулевые средние. Оценить вероятность того, что сумма этих величин принимает значения, лежащие на расстоянии, большем 2 от 0.

69. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что при 1000 бросаниях монеты число выпадений герба будет заключено между 450 и 550.

70. Случайные величины имеют распределение Пуассона:

m = 1, 2,…. Какова вероятность того, что сумма 1000 таких случайных величин будет принимать значения из интервала [1800, 2200]?