4. Сложение в формате с фиксированной точкой. Переполнение.

Сложение в формате с фиксированной точкой.

00111 +7 + 00011 +3

01010 +10

Имеет место перенос

Арифм переполнение — специфичная ситуация, когда при арифм действии результат становится больше макс возм значения для переменной, использующейся для хранения результата. При этом в результат записывается не ожидаемое 271, а 15. Если не проверять, было ли переполнение, то может возникнуть логическая ошибка.

5. Операция вычитания с фиксированной точкой. Дополнительный код числа.

Операция вычитания с фиксированной точкой.

00111 +7 - 00011 +3

00100 +4

Дополнительный код числа — способ представления отрицательных чисел. Он позволяет заменить вычитание на сложение и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и без знаковых чисел. (00001 = +1 ДК – 10001 = -15) (отнять от 4 или 8 разрядного нужное, оставив первое, т.е. знак).

Дополнительный код отрицательного числа можно получить инвертированием модуля двоичного числа (первое дополнение) и прибавлением к инверсии единицы (второе дополнение), либо вычитанием числа из нуля. Если число, записанное в прямом коде, положительное, то к нему дописывается старший (знаковый) разряд, равный 0, и на этом преобразование заканчивается.

Пример. Преобразуем отрицательное число −5, записанное в прямом коде, в дополнительный. Прямой код числа −5, взятого по модулю:

101

Инвертируем все разряды числа, получая таким образом обратный код:

010

Добавим к результату 1

011

Допишем слева знаковый единичный разряд

1011

Для обратного преобразования используется тот же алгоритм. А именно:

1011

Инвертируем все разряды числа, получая таким образом обратный код:

0100

Добавим к результату 1 и проверим, сложив с дополнительным кодом

0101 + 1011 = 10000, пятый разряд выбрасывается.

6. Представление чисел в форме с плавающей точкой. Мантисса и характеристика числа.

Представление чисел в форме с плавающей точкой. (Float Point)

Формат ПЗ предусматривает деление разрядной сетки на разряды мантиссы и разряды порядка (со знаками). Если число содержит в мантиссе первыми значащими цифрами нули, то для сохранения точности нужно иметь больше разрядов. При сохранении разрядности происходит потеря точности мантиссы. Числа, мантисса которых содержит незначащие нули, называется денормализованными. Соответственно, числа, мантисса которых не содержит впереди незначащих цифр, называется нормализованными. Числа в памяти компьютера хранятся в нормализованном виде. В двоичной системе счисл первая значащая цифра для положительных чисел — это единица. Отсюда следует, что в нормализованной мантиссе первая цифра всегда равна единице. В память эта единица не записывается, и поэтому она «называется скрытой». 2-а формата для представления чисел с плавающей запятой: 32, 64 разрядные. Формат отводит самый старший бит под знак мантиссы, затем следует смещенный порядок(характеристика), потом мантисса(без скрытой единицы). Для 32 разр 1+8+23(24 т.к. один под знак) (смещение порядка 127). 64 1+11+52(смещ порядка 1023). Диапазон чисел с плав запятой: 32 разр +-10^38, 64 разр +-10^308. Формат 32 бита называют одинарной точностью, 64 разр — двойной. (позже 16 и 128 половинная и учетверенная).

Формат с ПЗ: -используется специальный формат представления чисел, -числа расположены неравномерно по числовой оси, -дискретность(расстояние между соседними числами) переменная на всем диапазоне. Чем больше значение чисел, тем больше промежутки между ними.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных разрядов, условно разделенных на знак, экспоненту порядок и мантиссу. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

Знак(0 или 1)хПорядок(8чисел)хМантисса(23)

Математически это записывается так:

(-1)^s × M × B^E, где s — знак, B-основание, E — порядок, а M — мантисса.

Основание определяет систему счисления разрядов. Математически доказано, что числа с плавающей запятой с базой B=2 (двоичное представление) наиболее устойчивы к ошибкам округления, поэтому на практике встречаются только базы 2 и, реже, 10. Для дальнейшего изложения будем всегда полагать B=2, и формула числа с плавающей запятой будет иметь вид:

(-1)^s × M × 2^E

Строго говоря, нормализованное число имеет следующий вид:

(-1)^s × 1.M × 2^E.

Мантисса и характеристика числа.

Экспоненциальная за́пись — представление действительных чисел в виде мантиссы и порядка. Нужна для представлении очень больших и очень малых чисел, а также для унификации их написания.

N=M*n^p, где

N — записываемое число; M — манстисса; n — основание (показательной ф-ции);

p (целое)— порядок; n^p — хар-ка числа.

1.000.000: 1,0*10^6; N=1.000.000, M=1,0, n=10, p=6. (еще 1,324241*10^6).

Мантисса – это целое число фиксированной длины, которое представляет старшие разряды действительного числа.

Порядок – это степень базы (двойки) старшего разряда.