32.Поняття варіації ознак, причини, що її породжують та необхідність вивчення.

До характеристик варіації відносяться наступні показники: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середній квадрат відхилення, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації.

Найпростішим показником варіації є її розмах (R). Його визначають як різницю відхилення між максимальним і мінімальним значенням ознаки.

R= X_max – X_min

Розмах варіації використовується в тих випадках, коли важливо встановити амплітуду варіації ознаки. Для прикладу: оцінити варіацію цін на товари за певний проміжок часу, встановити зміну попиту на продукцію.

Точнішою характеристикою варіації ознаки служить середнє лінійне відхилення. Показник середнього лінійного відхилення будується на припущенні, що в однорідній сукупності типовою, однаковою для всіх одиниць ознакою може бути її середнє значення.

33.Абсолютні показники варіації та їх зміст.

Для вимірювання та оцінки розміру варіації використовується система абсолютних показників, які розглядаються як абсолютна міра варіації:

1. Розмах варіації  (R), що характеризує максимальну амплітуду коливань значень ознаки у сукупності:

R = xmax – xmin,

де xmax, xmin — відповідно найбільше та найменше значення ознаки

 сукупності.

В інтервальних рядах розподілу розмах варіації визначається як різниця між  верхньою межею останнього та нижньою межею першого інтервалу. Перевагою даного показника є простота обчислення та ясність економічної інтерпретації. Головний недолік полягає у тому, що він визначається по двох граничних величинах, які часто є випадковими.

 

2. Середнє лінійне відхилення (l), що характеризує середній розмір коливань значень ознаки навколо середнього рівня:

Просте середнє лінійне відхилення визначається по індивідуальних даних, а зважене — в рядах розподілу. В інтервальних рядах розподілу спочатку знаходиться середина кожного інтервалу, а далі робляться обчислення за наведеною формулою.

3. Дисперсія (σ2) — це середній квадрат відхилень значень ознаки від середнього рівня:

4. Середнє квадратичне відхилення (σ) — показує, на скільки в середньому відхиляються значення ознаки від середнього рівня:

Наприклад, на основі попередніх підрахунків середнє квадратичне відхилення місячного доходу становить:

Середнє квадратичне відхилення найчастіше використовується у статистичному аналізі, тому його називають стандартним відхиленням. Зрозуміло, що чим меншою є його величина, тим слабкішою є варіація і більш однорідною - статистична сукупність.

 

34.Математичні властивості дисперсії.

Знаючи математичні властивості дисперсії, можна спростити вирахування її величини. Розглянемо їх.

1. Якщо із усіх значень варіант відняти постійне число А, то величина дисперсії не зміниться

^СТ( *,-А) = ^ ^.

Таким чином, середній квадрат відхилень можна обчислити не за величинами варіант, а за відхиленням їх від якогось постійного

ґг² = ґг²

числа, тобто ⁽'o-^Ау

2. Якщо значення варіант поділити на постійне число А, то величина дисперсії зменшиться в А², а середнє квадратичне відхилення в А разів:

<у =ст²: А¹.

⁽7⁾

Із цього випливає, що всі варіанти можна поділити на будь-яке постійне число, обчислити середнє квадратичне відхилення, а потім

а² =о^г А²

помножити його на це постійне число: ^^А >

3. Якщо вирахувати середній квадрат відхилень від будь-якої величини (А), що відрізняється в тій чи інший мірі від середньої (^х), то величина його завжди буде більше середнього квадрата відхилень, обчисленого відносно середньої ^(ол ^2).

Отримане перевищення дорівнює квадрату різниці між середньою і умовно узятою величиною, тобто ^1 х -^А /2. Це все можна подати у такому запису:

а²_А = а² + (~х - А)² _або а²_А = а² - (х - А)

Розглянута властивість середнього квадрата відхилень дозволяє зробити висновок про те, що дисперсія від середньої (^ст2 ) завжди менша за дисперсії, обчислені від будь-яких інших величин ^ад , тобто вона має властивість мінімальності.

4. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю ("^'^ ~⁰). Ця властивість випливає з того, що дисперсія є показником розсіювання варіант навколо середньої арифметичної, а середня арифметична постійної величини дорівнює цій величині.

Ряд властивостей дисперсії ґрунтується на рівності ° ^= х ~^(х) , Тобто дисперсія дорівнює різниці між середньою арифметичною квадратів варіант і квадратом середньої арифметичної.