4.3.2. Квантова теорія Дебая
1. Альберт
Айнштайн (1907р.) розглянув
кристал елементу як сукупність атомних
лінійних осциляторів, які коливаються
з однаковою власною частотою і володіють
середньою енергією
[Дж],
яка розраховується за формулою Планка:
,
(4.60)
де ћ − універсальна стала Планка (ћ = 6,626176(50) · 10−34[ Дж·с];
k − стала Больцмана (k = 1,380648(45) · 10−23 [Дж/К];
Т − абсолютна температура, [K];
ν − частота коливань атомів у кристалічній ґратці [c−1];
(безрозмірна величина).
Для простих тіл із слабкими міжатомними зв'язками (Аg, Cu) решіткові коливання мають низькі частоти, які повністю збуджені вже при кімнатних температурах. У спектрах інших тіл (наприклад, алмаз, ґрафіт) є високі частоти, які при кімнатних температурах збуджені не повністю.
Але виявилося, що допущення А. Айнштайна про атомні лінійні осцилятори, які коливаються з однаковою частотою, є грубим наближенням. Теплоємність твердих тіл залежить від температури не лише при низьких, але й високих температурах.
2. Більш точну залежність теплоємности від температури дала теорія Петера Дебая. Дебай розглянув атом кристалу елементу як гармонійний осцилятор, який коливається в діапазоні частот (ν, ν+dν) з максимальною характеристичною частотою νmax. Кристал розглянуто як суцільне середовище − тривимірний пружний континуум (утворення, яке володіє властивостями неперервности), в якому розповсюджуються пружні хвилі, а коливання атомів взаємопов'язані. Тут формула Планка застосована не для окремих коливань частинок, а для всього континууму. Система коливань континууму співставлена з системою квазічастинок, що рухаються, − фононів. Приписавши кожному фонону енергію Е0 і, знаючи густину станів у спектрі частот, Дебай знайшов внутрішню енергію кристалу (принаймні ту частину, що залежить від температури):
,
(4.61)
де dz − число станів в діапазоні частот (ν, ν + d ν).
Після низки математичних операцій:
.
(4.62)
Вираз у квадратних дужках носить назву функції Дебая:
. (4.63)
Тоді
(4.64)
.