§ 7. Пересечение и сумма подпространств. Прямая сумма

Пусть дано векторное пространство V, в котором заданы два подпространства U и W.

Определение 1. Пересечением подпространств U и W называется множество UW векторов, принадлежащих как подпространству U, так и подпространству W, то есть

UW ={x xU и xW}.

Определение 2. Суммой подпространств U и W называется множество U+W всех таких векторов, которые представимы в виде двух слагаемых, из которых первое слагаемое принадлежит U, а второе  W , то есть

U+W={x+yxU, yW}.

Используя теорему 1 § 6, легко проверить, что и сумма, и пересечение подпространств являются подпространствами.

Очевидно, если U= <a₁,…,a_p>, W = <b₁,…,b_q>, то

U + W = <a₁,…,a_p, b₁,…,b_q>.

Определение 3. Сумма U+W подпространств U и W называется прямой, если UW={0}.

Прямую сумму подпространств U и V обычно обозначают UW.

Теорема 1. Сумма двух подпространств U и W является прямой тогда и только тогда, когда любой вектор z этой суммы единственным образом представим в виде z = x + y, где xU, yW.

Докажем необходимость. Предположим, что сумма подпространств U и W прямая, и найдется хотя бы один такой вектор z , который представляется двумя способами в виде z = x+y и z = x+y, где x, x векторы из U, а y и y  векторы из W. Но тогда x+y = = x+y, откуда следует, что x-x = y-y, причем вектор в левой части этого равенства лежит в U, а вектор в правой части – в W, но поскольку они равны, то лежат в пересечении подпространств. Из определения прямой суммы следует, что и левая, и правая части этого равенства являются нулем, а следовательно, x = x, y = y.

Достаточность. Пусть представление вектора в виде указанной в теореме суммы единственно. Возьмем любой вектор хU W. Тогда хU и хW, и, заметив, что 0 принадлежит любому подпространству, мы можем записать равенство 0 = 0 + 0 = х + (-х), откуда, в силу единственности, следует, что х = 0.

Теорема 2. Размерность суммы двух векторных подпространств равна сумме размерностей этих подпространств без размерности их пересечения, то есть

dim(U+W) =dimU + dimW - dimUW.

Доказательство. Выберем базис e₁,…,e_m подпространства UW и дополним его сначала до базиса e₁,…,e_m,e_m+1,…,e_k подпространства U, а затем  до базиса e₁,…,e_m,e_m+1,…,e_s подпространства W. Очевидно, что любой вектор из U+W выражается через k + s – m векторов:

e₁,…,e_m,e_m+1,…,e_k,e_m+1,…,e_s. (1)

Если мы докажем, что система (1) линейно независима, то она будет являться базисом суммы подпространств и, следовательно, утверждение теоремы будет доказано. Для этого составим равенство

₁e₁+…+_me_m+_m+1e_m+1+…+_ke_k+_m+1e_m+1+…+_se_s= 0 (2)

и проверим, что линейная комбинация в левой части этого равенства  тривиальная.

Перепишем равенство (2) в виде

-_m+1e_m+1-…-_se_s= ₁e₁+…+ _me_m+ _m+1e_m+1+…+ _ke_k. (3)

Из (3) следует, что правая часть этого равенства принадлежит U, так как она выражается через базис подпространства U; вектор в левой части, являясь комбинацией базисных векторов из W, принадлежит W. Но это означает, что и левая, и правая часть равенства (3) является вектором из пересечения UW этих подпространств. Поскольку каждый вектор разлагается по базису, разложим левую часть равенства (3) по базису UW:

-_m+1e_m+1-…-_se_s= ₁e₁+…+ _me_m. (4)

Из (4) следует, что

₁e₁+…+ _me_m+ _m+1e_m+1+…+ _se_s= 0. (5)

Из (5) мы видим, что линейная комбинация векторов базиса W равна нулю. Следовательно, она тривиальна, в частности, _m+1=…=_s=0. Внесем значения этих коэффициентов в равенство (2), тогда получим, что линейная комбинация базисных векторов подпространства U равна нулю и, следовательно, эта комбинация также тривиальна, то есть ₁=…= _m= _{m+ 1}= … = _s= 0. Окончательно имеем, что все коэффициенты в равенстве (2) равны нулю и, следовательно, система (1) линейно независима.

Следствие. dimUW = dimU+dimW.

Замечание. Понятие пересечения и суммы подпространств переносятся на любое число подпространств. Так, если даны подпространства U₁,…,U_q, то пересечением их называется множество тех векторов, которые одновременно принадлежат всем рассматриваемым подпространствам, а суммой U₁+…+U_q называется множество всевозможных векторов, представимых в виде x₁+…+x_q, где x₁U₁,…,x_qU_q. Если представление вектора суммы в виде x₁+…+x_q единственно, то сумму называют прямой и обозначаютU₁…U_q.

Пример. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

А = а₁,а₂, В = b₁,b₂

a₁= (1, 2, 1, 0), b₁= (2, -1, 0, 1),

a₂= (-1, 1, 1, 1); b₂= (1, -1, 3, 7).

Решение.

Подпространство A + B состоит из векторов вида a + b, где aA, bB, следовательно, A + B =  а₁,а₂,b₁,b₂. Составим матрицу из координат указанных векторов и найдем её ранг:

Получаем, ранг равен 3, а потому dim(A+B) = 3. В качестве базиса можно взять систему векторов a₁, a₂, b₁.

Подпространство состоит из всех таких векторов x, что

х = α₁a₁ + α₂a₂ = β₁b₁ + β₂b₂.

Решив уравнение α₁a₁ + α₂a₂ - β₁b₁ - β₂b₂ = 0

относительно неизвестных α₁, α₂, β₁, β₂, получим:

α₁ = c, α₂ = -4c, β₁ = 3c, β₂ = -c, где с – произвольное вещественное число.

Итак, ca₁ – 4ca₂=c(5,-2,-3,-4). Подпространство порождено одним вектором (5, -2, -3, -4). Значит, и в качестве базиса пересечения подпространств можно взять полученный вектор.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Какая размерность у линейной оболочки, натянутой на векторы (1,0,0,0), (0,1,0,0), (1,1,0,0), (2,2,0,0)?

2. Сколько различных базисов можно выбрать из системы векторов a, b, c двумерного векторного пространства, если векторы попарно линейно независимы?

3. Определяет ли система уравнений x₁+x₂+x₃+x₄=0, х₂ + х₄ -3=0.

x₁-2x₃+4x₄ +1=0 векторное подпространство в R⁴ и если да, то какой размерности?

4. Какие векторы из данной системы (1,0,0), (1,2,2), (0,0,1) принадлежат линейной оболочке < (1,1,1), (0,1,1)>?

5. Сколько независимых однородных уравнений входит в систему, определяющую двумерное подпространство пятимерного пространства?

6. Какова размерность векторного пространства всех однородных многочленов от двух переменных степени не выше четырех?

7. Из трех векторов а = (1,1), b = (0,1), c = (1,-1) выбран базис. Указать выбранный базис, если известно, что вектор х = (3,1) имеет в этом базисе координаты 1 и 2.

8. Найти матрицу перехода от базиса е₁ = (1,0), е₂ = (0,1) к базису е₁ = (1,2), е₂ = (3,4).

9. Пусть R₁[x] – пространство многочленов от одного неизвестного х степени не больше единицы, R² – арифметическое двумерное пространство. Изоморфизм  из R² в R₁[x] переводит базис е₁ = (1,1) и е₂ = (0,1) соответственно в базис х и 1. Найти образ вектора а = (2,4) при этом изоморфизме.

10. Даны два линейно независимых вектора a, b. Какова размерность пересечения подпространств L₁ = <a, a-b> и L₂ = <b, a+b>?

11. Можно ли векторное пространство размерности не меньше 2 представить в виде прямой суммы двух подпространств?

12. Относительно системы векторов е₁,…,е_n известно следующее: каждый вектор линейно выражается через эту систему, и существует некоторый фиксированный вектор, который единственным образом выражается через эту систему. Будет ли такая система образовывать векторный базис?

13. Образуют ли векторное пространство геометрические векторы на плоскости, не параллельные данной прямой?

14. Доказать, что для любого истинного подпространства U векторного пространства V найдется такое подпространство W, что V=UW.

15. Доказать, что пересечение всех подпространств векторного пространства, содержащих два данных подпространства, равно сумме этих двух подпространств.