§ 5. Сопряженные операторы

Пусть в евклидовом пространстве Е задан линейный оператор .

Определение. Отображение ^:ЕЕ называется сопряженным линейному оператору :ЕЕ, если для любых векторов х и у из Е

(х,у) = (х,^у). (1)

Формула (1) ничего не говорит ни о существовании, ни о свойствах такого отображения. Прежде чем решать эти вопросы, докажем одно вспомогательное предложение.

Лемма. Если для векторов а и b при любых векторах хЕ выполняется равенство

(a,x) = (b,x), (2)

то а = b.

Доказательство. Из (2) следует, что равенство (a-b,x) = 0 справедливо при любых х, в том числе и при х = a-b. Но тогда (a-b,a-b) = 0, откуда сразу следует, что a-b = 0, то есть a = b.

Теорема 1. Если   линейный оператор, а ^  сопряженное отображение, то отображение ^ определяется единственным образом и является линейным оператором.

Докажем единственность отображения ^. Пусть наряду с ^ существует отображение , сопряженное линейному оператору . Это значит, что выполняется равенство

(х,у) = (х,у). (3)

Так как левые части равенств (1) и (3) равны, то равны и правые, а тогда по лемме ^у = у. В силу произвольности вектора у получаем, что ^ = .

Чтобы доказать линейность отображения ^, рассмотрим следующие равенства:

(х, ^(₁у₁ + ₂у₂)) = (х,₁у₁ + ₂у₂) = ₁(х,у₁) + ₂(х,у₂) = =₁(х,^у₁) +₂(х,^у) = (х, ₁^у₁ + ₂^у₂).

Сравнивая левую часть этих равенств и правую, по лемме заключаем, что ^(₁у₁ + ₂у₂) = ₁^у₁ + ₂^у₂ и линейность доказана.

Теорема 2. В любом ортонормированном базисе матрица А_ линейного оператора ^ совпадает с транспонированной матрицей А_ оператора , то есть А_ = А_^t.

Действительно, пусть е₁,…е_п  любой ортонормированный базис, и пусть матрицами линейных операторов  и ^ в этом базисе будут соответственно матрицы А_ = и А_ = . Тогда

е_i = a_i1e₁ + …+ a_ine_n, i = 1,2,…,n, (4)

^e_j = e₁ +…+ e_n, j = 1,2,…n. (5)

Умножим скалярно обе части равенства (4) на вектор е_j, а обе части равенства (5)  на e_i. Тогда получим

(e_i,e_j) = a_ij, (e_i,^e_j) = . (6)

Из (1) и (6) следует, что , то есть

А_ = A_^t . (7)

Теорема 3. Если матрица линейного оператора ^ хотя бы в одном ортонормированном базисе совпадает с транспонированной матрицей линейного оператора , то оператор ^ сопряжен с .

Доказательство. Пусть в данном базисе е₁,…,е_п имеют место равенства (4) и (5), где a_ij= , причем в силу ортонормированности базиса выполняются равенства (6). Тогда для любых векторов

х = е_i, y = e_j будем иметь

(х,у) = (e_i,e_j) = ,

(x,^y) = (e_i,^e_j) = = .

Отсюда следует, что (х,у) = (х,^у) и теорема доказана.

Теорема 4. Операция перехода к сопряженному преобразованию обладает следующими свойствами: 1) (^)^ = ; 2) ()^ = ^ 3) (  )^ = ^  ^; 4) (^  ^^.

Все эти свойства доказываются одним и тем же способом, поэтому мы ограничимся доказательством одного из них. Докажем, например, свойство 4). Имеем (х,у) = (х,^у) = (х,^^у). С другой стороны, (х,у) = (х, ()^у). Отсюда следует, что (х,()^у) = = (х,^^у), а тогда из леммы следует справедливость свойства 4).

Обратим внимание, что свойства сопряженности операторов аналогичны свойствам транспонирования матриц, что не удивительно, так как алгебра линейных операторов изоморфна алгебре матриц и в ортогональном базисе имеет место равенство (7).