§ 3. Конечномерные векторные пространства. Базис

и координаты вектора

Система векторов a₁,…,a_n векторного пространства V называется максимальной линейно независимой системой, если для любого вектора xV система a₁,…,a_n, x линейно зависима.

Определение 1. Векторное пространство V называется конечномерным, если в нем существует, по крайней мере, одна конечная максимальная линейно независимая система векторов.

Определение 2. Базисом конечномерного векторного пространства V называется упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов.

Справедлива следующая

Теорема 1. Любой вектор разлагается по базису и притом единственным образом.

В самом деле, пусть e₁,…,e_n – базис векторного пространства, а x – любой вектор этого пространства. По определению базиса система векторов e₁,…,e_n, x линейно зависима, а ее подсистема e₁,…,e_n линейно независима. Тогда, по следствию 4⁰ § 2 вектор x единственным образом выражается через базис в виде

x = x₁e₁ + …+ x_ne_n . (1)

Определение 3. Коэффициенты разложения вектора по базису e_1,…,e_n называются координатами вектора в этом базисе.

Если вектор х задан в виде (1), а базис известен, то часто пишут

x = (x₁,…,x_n).

Пример. Найти координаты многочлена в базисе:

а)

б)

Решение. Координаты вектора в базисе а) получаем сразу по определению

[f(x)]= (3, -1, 2, 4).

Для нахождения координат в базисе б) разложим многочлен по степеням (x-1), пользуясь формулой Тейлора:

Вычисляя значения производных при х=1, получим:

Многочлен можно переписать в виде:

Координатами в указанном базисе будут числа (3, 8, 9, 8).

Теорема 2. Координаты произведения числа на вектор равны произведениям соответствующих координат вектора на это число. Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат векторов.

В самом деле, умножая обе части равенства (1) на число  и используя аксиомы векторного пространства, получим:

x = (x₁e₁+…+x_ne_n) = (x₁)e₁ +…+ (x_n)e_n. (2)

Если задан вектор

y = y₁e₁ +… + y_ne_n, (3)

то с использованием тех же аксиом будем иметь

x+y = (x₁e₁+…+x_ne_n)+(y₁e₁+…+y_ne_n) = (x₁+y₁)e₁+…+(x_n+y_n)e_n. (4)

Из равенств (2), (4) и определения 3 следует справедливость утверждения теоремы.

Теорема 3. Всякий базис состоит из одинакового числа векторов.

В самом деле, пусть имеются два базиса e₁,…,e_n и f₁,…,f_m. Так как по теореме 1 каждый вектор одного базиса линейно выражается через векторы другого базиса, то по лемме о двух системах векторов мы получим, что m  n и n  m, откуда следует равенство m = n.

Теперь мы можем дать следующее

Определение 4. Размерностью конечномерного векторного пространства называется число векторов в его базисе.

Если размерность пространства V равна n, то или пишут dimV = n, или векторное пространство обозначают V_n.

Определение 5. Система векторов а₁,…,a_s называется порождающей системой или системой образующих векторного пространства V, если любой вектор из V является линейной комбинацией векторов этой системы.

В этом случае пишут V = <a₁,…,a_s>.

Теорема 4. Любая конечная порождающая система векторов векторного пространства содержит базис.

Доказательство. Пусть V=<a₁,…,a_s>. Будем вычеркивать по порядку все нулевые векторы, пока не встретим ненулевой. Перенумеровав, если необходимо, векторы, будем считать, что а₁0. Теперь вычеркнем те векторы, которые вместе с вектором а₁ образуют линейно зависимые системы. Изменив, если необходимо, нумерацию векторов, первый не вычеркнутый вектор обозначим а₂ и начнем вычеркивать те векторы, которые вместе с векторами а₁ и а₂ образуют линейно зависимую систему. Продолжая процесс, получим, что система векторов а₁,…,a_n – линейно независима, а все системы a₁,…,a_n,a_i, где i=n+1, …,s,  линейно зависимые. Тогда, по свойству 4⁰ § 2 каждый вектор а_i может быть представлен в виде

a_i = _i1a₁+…+_ina_n, i = n+ 1, n+2,…,s. (5)

По определению порождающей системы имеем, что любой вектор х из V есть линейная комбинация векторов этой системы, то есть

x = ₁a₁+…+_na_n+_n+1a_n+1+…+_sa_s . (6)

Если в (6) внести из (5) выражения векторов а_n+1,…, a_s, то получим, что каждый вектор х пространства V линейно выражается через линейно независимую систему a₁,…,a_n, которая в силу этого является максимальной и, следовательно, базисом.

Теорема 5. Всякую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса.

Доказательство. Пусть a₁,…,a_k  линейно независимая система, а e₁,…,e_n – некоторый базис пространства V. Очевидно, что V =<a₁,…,a_k, e₁,…,e_n>. Применяя к данной порождающей системе рассуждения теоремы 4, мы дополним данную независимую систему до базиса.