§ 2. Ортогональные системы векторов. Метод ортогонализации

Определение 1. Векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Если вектор х ортогонален вектору у, то пишут х  у.

Для ортогональных векторов х и у справедливо равенство («теорема Пифагора»):

х+у² = х² + у². (1)

В самом деле, учитывая, что (х,у) = 0, получим

х + у² = (х + у,х +у) = (х,х) + 2(х,у) + (у,у) = х² + у². Что и требовалось доказать.

Определение 2. Система векторов х₁,…,х_s называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны, то есть (х_i,x_j) = 0 при i  j, i, j = 1,…,s.

Отметим, что для ортогональной системы векторов x₁,…x_s справедлива «обобщенная теорема Пифагора», то есть выполняется равенство

x₁+x₂+…+x_s² = x₁² + x₂² +…+ x_s². (2)

Доказательство этого равенства проводится обычным вычислением по аналогии с доказательством равенства (1).

Теорема 1. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Доказательство. Для ортогональной системы векторов x₁,…,x_s составим равную нулю линейную комбинацию

₁x₁+₂x₂+…+_sx_s= 0 (3)

и покажем, что линейная комбинация здесь может быть только тривиальной. В самом деле, умножив скалярно обе части (3) на вектор х_i, где i = 1,2,…,s, получим

₁(x₁,x_i) + ₂(x₂,x_i)+…+_i(x_i,x_i) +…+ _s(x_s,x_i) = (0,x_i), (4)

откуда следует, что _i x_i² = 0, а так как x_i  0, то _i = 0 для всех i = 1,2,…,s, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Пусть x₁,…,x_s – базис линейной оболочки L = <x₁,…,x_s>. Тогда в L существует ортогональная система векторов y₁,…,y_s, являющаяся базисом L.

Доказательство. Будем строить ортогональную систему векторов y₁,…,y_s следующим образом: положим у₁ = х₁. Будем искать у₂ в виде

у₂ = у₁ + х₂. (5)

Подберем число так, чтобы вектор у₂ был ортогонален вектору у₁. Для этого умножим обе части равенства (5) скалярно на у₁. Так как мы считаем, что (у₁,у₂) = 0, то получим 0 = (у₁,у₁) + + (у₁,х₂). Поскольку (у₁,у₁)  0 , число найдется из этого равенства единственным образом.

Вектор у₃ будем искать в виде

у₃ = у₁+ у₂ + х₃, (6)

подбирая числа так, чтобы вектор у₃ был ортогонален и вектору у₁, и вектору у₂. Для этого умножим скалярно равенство (6) сначала на у₁, а затем на у₂ . Учитывая, что (у₁,у₃) = 0, (у₂,у₃) = 0, получим

0 = (у₁,у₁) + (х₃,у₁), 0 = (у₂,у₂) + (х₃,у₂). (7)

Из равенств (7) числа найдем единственным образом, так как (у₁,у₁)  0, (у₂,у₂)  0.

Полагая, что векторы у₁,…,у_k построены, будем искать вектор у_k+1 в виде

y_k+1 = y₁+ y₂ +…+ y_k+ x_k+1. (8)

Для нахождения числа умножим скалярно обе части равенства (8) на вектор у_i , где i = 1,….k. Тогда из равенства 0 = (y_i,y_i) + + (y_i,x_k+1) найдем числа для i = 1,…k.

Продолжая процесс, построим ортогональный базис линейной оболочки L. Теорема доказана.

Описанный при доказательстве теоремы процесс построения ортогональной системы векторов называется методом ортогонализации Щмидта.

Следствие. В векторном пространстве существует ортогональный базис.

Определение 3. Вектор х называется нормированным или единичным, если его длина равна единице. Переход от вектора х к единичному вектору e = называется нормированием. Ортогональная система нормированных векторов называется ортонормированной.

Заметим, что если ортогональная система векторов y₁,…,y_n является базисом пространства V, то, нормируя векторы у₁,…,у_п, получим ортонормированный базис е₁, …,е_п пространства. Для ортонормированного базиса е₁,…,е_п справедливо соотношение

(е_i,e_j) = _ij, (9)

где _ij  символ Кронекера, принимающий значение 1 при i = j и 0 при i  j.

Теорема 3. Базис е₁,…, е_п ортонормирован тогда и только тогда, когда для любых векторов х = e_i и y = e_j скалярное произведение вычисляется по формуле

(х,у) = . (10)

В самом деле, используя свойства скалярного произведения, имеем

(х,у) = ( е_i, e_j) = (e_i,e_j) . (11)

Отсюда ясно, что необходимым и достаточным условием выполнения равенства (10) является условие (9), то есть чтобы базис был ортонормированным.

В заключение заметим, что в алгебре рассматриваются не только ортогональные векторы, но и ортогональные подпространства: подпространство L₁ называется ортогональным подпространству L₂, если хL₁ и уL₂ выполнено (x,y) = 0.

Введем еще одно определение.

Определение 4. Ортогональным дополнением для подпространства L называется множество L^ всех векторов, ортогональных L, то есть

L^ = {xE (x,y) = 0, yL}.

Нетрудно убедиться, что L^ является подпространством и что E = LL^.

Пример. Если L  подпространство, а x = y + z, где y  L, а z  L^, то y называется ортогональной проекцией, а z  ортогональной составляющей вектора x. Пусть x = (5, 2, -2, 2), L =  e₁, e₂ , где e₁ = (2, 1, 1, -1), e₂ = (1, 1, 3,0). Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора x на L.

Решение. Положим y = e₁ + e₂, тогда x = e₁+ + e₂+z.

Найдем коэффициенты разложения. Для этого левую и правую части равенства умножим скалярно на е₁, а затем на е₂.

Получим систему линейных уравнений:

(х,е₁) = (e₁,е₁) + (e₂,е₁) + (z,е₁),

(х,е₂) = (e₁,е₂) + (e₂,е₂) + (z,е₂),

в которой последнее слагаемое в обоих уравнениях обращается в ноль, так как z  L.

Вычислим скалярные произведения: (х,е₁) = 8, (х,е₂) = 1, (e₁,е₁) = 7, (e₁,е₂) = 6, (e₂,е₂) = 11. Решая систему уравнений, получаем  = 2,  = -1.

Тогда y = 2e₁ - e₂ = (3, 1, -1, -2)L,

z = x – y = (2, 1, -1, 4)  L.