Глава 3. Линейные, билинейные и квадратичные формы

§ 1. Линейные формы. Двойственное пространство

Пусть V – векторное пространство над полем Р.

Определение 1. Линейной формой называется отображение f:VP, такое, что для любых векторов х, у из V и любого числа  из Р выполняются условия линейности, то есть

f(x+y) = f(x)+f(y), (1)

f(x) =  f(x). (2)

Иными словами, линейная форма  это скалярная линейная функция векторного аргумента.

Покажем, как вычислить значение линейной формы от векторного аргумента х, если вектор задан своими координатами относительно данного базиса е₁,…,е_n.

Предварительно докажем, что справедлива

Теорема 1. Существует единственная линейная функция, значения которой на векторах данного базиса равны данным числам.

Доказательство. Пусть дан базис е₁,…,е_n и ряд чисел a₁,…,a_n из Р. Построим отображение f:VP следующим образом: каждому вектору x = x₁e₁+…+x_ne_n поставим в соответствие число

f(x) = a₁x₁+…+a_nx_n . (3)

Очевидно, построенное отображение является линейной формой, так как удовлетворяет условиям линейности, причем

f(e_i) = a_i, i=1,2,…,n. (4)

Для доказательства единственности предположим, что наряду с построенной линейной формой f найдется другая линейная форма g, такая что g(e_i) = a_i, i=1,2,…,n. Но тогда по свойствам линейности получим:

g(x) = g(x₁e₁+…+x_ne_n) = x₁g(e₁) +…+x_ng(e_n) = a₁x₁+…+a_nx_n. (5)

Из (3) и (5) заключаем, что для всех хV f(x) = g(x), то есть f = g.

Обозначим V^ множество всех линейных форм, заданных на векторном пространстве V. Введем для линейных форм операции сложения и умножения на числа по формулам

(f+g)(x) = f(x) + g(x), (6)

(f)(x) = f(x). (7)

Заметим, что и сумма линейных форм, и произведение числа на линейную форму есть снова линейные формы (докажите!), а это значит, что сложение является алгебраической операцией в V^ , а произведение числа на линейную форму – операцией умножения на скаляры в V^. Кроме того, в V^ существует линейная форма О, определяемая формулой О(х) = 0 для всех х и играющая роль нуля, а также для каждой формы f найдется линейная форма -f, определяемая формулой (-f)(x) = -f(x). Учитывая эти свойства, легко убедиться, что множество V^ относительно операций сложения и умножения на числа образует векторное пространство.

Определение 2. Векторное пространство V^ называется двойственным (дуальным, сопряженным) к векторному пространству V.

Теорема 2. Размерность двойственного векторного пространства равна размерности исходного пространства.

Доказательство. Пусть dimV= n и e₁,…,e_n  базис векторного пространства. С помощью этого базиса построим, воспользовавшись теоремой 1, n линейных форм _i по формулам:

_i(e_j) = _ij, j = 1,2,…, n, (8)

где _ij – символ Кронекера, принимающий значение 1 при i = j и 0 при i  j. Иначе каждую форму _i можно описать так: если

x = x₁e₁+…+x_ne_n , то

_i(x) = x_i. (9)

Оказывается, именно эти формы можно взять за базис пространства V^. Для этого достаточно показать, что они линейно независимы, и каждая линейная форма выражается через эти формы. Для проверки их независимости составим равенство

₁₁ +…+ _n_n = 0. (10)

Вычислим значение правой и левой частей равенства (10) на каждом базисном векторе е_i, где i = 1,2,…,n, тогда получим равенство

(₁₁ +…+_n_n)(e_i) = 0(e_i), (11)

из которого следует, что _i = 0 при i = 1,2,…,n. Так как оказалось, что линейная комбинация в правой части (10) может быть только тривиальной, то линейные формы _i – линейно независимы.

Пусть f – любая линейная форма. Тогда, с учетом (3) и (9), имеем

f(x) = a₁₁(x) +…+a_n_n(x) = (a₁₁ +…+ a_n_n)(x),

откуда следует, что

f = a₁₁ +…+ a_n_n. (12)

Мы показали, что n линейных форм _i являются базисом. Это значит, что dimV^= dimV, и теорема доказана.

Отметим, что построенный по формулам (8) базис _i называется двойственным (дуальным, сопряженным) к базису е_j.