83

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный университет»

Кафедра алгебры и геометрии

В. А. Петин, М. Е. Ковалевская

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебное пособие

Кемерово 2005

ББК В143я73 Печатается по решению редакционно-издательского

УДК 512.64(075.8) и научно-методического советов ГОУ ВПО

П-29 «Кемеровский государственный университет»

Рецензенты: доктор ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой алгебры ТГУ, П. А. Крылов;

доцент кафедры теории и методики обучения математике, физике и информатике ТГПУ Т. А. Сазанова

Петин, В. А.

П-29 Линейная алгебра: учеб. пособие В.А. Петин, М. Е. Ковалевская; ГОУ ВПО «Кемеровский госуниверситет».  Кемерово: Кузбассвузиздат, 2005.  84 с.

ISBN 5-8353-0408-0

Учебное пособие «Линейная алгебра» является составной частью курса «Линейная алгебра и геометрия». В пособии излагается теория абстрактных векторных и евклидовых пространств, а также функций на этих пространствах: линейных операторов, линейных билинейных и квадратичных форм. Данное пособие выгодно отличается от имеющейся литературы тем, что оно содержит, при небольшом объеме, полное изложение вопросов, предусмотренных Государственным стандартом обучения.

ISBN 5-8353-0408-0 ББК В143я73

 Петин В. А/,

Ковалевская М. Е., 2005

 ГОУ ВПО «Кемеровский

госуниверситет», 2005

Введение

Уже в курсе аналитической геометрии обнаруживается, что, по существу, геометрия отличается от алгебры только языком, причем переводчиком служит система координат: она переводит геометрические понятия на алгебраический язык систем чисел, уравнений и неравенств и наоборот. Оказалось, что, развивая и обобщая алгебраические понятия, можно во многих случаях сохранить геометрический язык и геометрическую аналогию, что позволяет истолковывать весьма наглядно абстрактные алгебраические понятия, а при решении многих задач использовать геометрическую интуицию. Основу курса «Линейная алгебра и геометрия» как раз и составляют такие абстрактные и общие алгебраические понятия и результаты, которые имеют геометрическую интерпретацию.

Геометрическое представление различных алгебраических структур, подкрепленное соответствующими вычислительными методами, дает чрезвычайно плодотворные результаты. Этим объясняется то, что результаты и понятия данного курса используются в таких математических дисциплинах, как дифференциальные уравнения, функциональный анализ, уравнения математической физики и др.

Данное пособие является только первой частью курса «Линейная алгебра и геометрия» и представляет собой изложение теории абстрактных векторных пространств и функций на векторных пространствах: линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные формы.

Напомним некоторые понятия, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Пусть даны два произвольных множества М и N. Множество всевозможных пар элементов вида (m,n), где m – элемент из М, а n – элемент из N, называется декартовым произведением множеств M и N и обозначается MN. Разумеется, можно составить декартово произведение множества М на себя, то есть ММ.

Алгебраической операцией на множестве М называется отображение f: MMM, то есть правило, сопоставляющее каждой паре элементов x и y из М один определенный элемент z из множества М. В отличие от других математических дисциплин, в алгебре элемент обозначается или x+ y, или xy, или иным знаком, например или как-то иначе, причем операцию обычно называют соответственно обозначению сложением, умножением, композицией и т. п. Следует лишь помнить, что свойства этих операций в общем случае не имеют ничего общего со свойствами сложения или умножения чисел. Например, совсем не следует, что для любой алгебраической операции, обозначенной знаком «+», справедливо равенство x+ y = y+ x.

Пусть имеем два множества M и N, из которых первое мы назовем основным, а второе – вспомогательным или множеством скаляров (независимо от природы его элементов).

Внешним законом композиции на множестве M, или умножением на скаляры, называется отображение . Элемент g(n,y) будем обозначать ny и называть произведением скаляра n на элемент y.

Напомним также, что множество Р называется полем, если на этом множестве заданы две алгебраические операции, называемые сложением и умножением, обе ассоциативные и коммутативные, обладающие соответственно нулем и единицей, причем для любого элемента поля найдется противоположный ему элемент, а для любого ненулевого  обратный, и эти операции связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения.

В настоящее время имеется весьма обширная литература по линейной алгебре. Не отсылая читателя к монографиям, мы приведем лишь некоторые достаточно известные учебники.

1) Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.1963

2) Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М. 1970.

3) Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М. 1970

4) Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М. 1962.

5) Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Минск, 1968.

Глава 1. Векторные пространства

§ 1. Определение векторного пространства. Простейшие

следствия. Примеры

Пусть Р - поле, элементы которого будем называть скалярами или просто числами.

Определение 1. Векторным пространством над полем Р называется множество V, элементы которого назовем векторами, если на нем задана одна алгебраическая операция - сложение и один внешний закон композиции – умножение на числа из Р, причем для любых векторов a, b, c из V и любых чисел из Р выполняются следующие условия (аксиомы):

1. (a + b)+c = a + (b + c), 5. a = a + a,

2. 0, такой, что 0 + a = a, 6. (a + b) = a + b,

3. a V (-a) V, такой что (-a) + a, 7. a)= a,

4. a + b = b + a, 8. 1a = a.

Допуская вольность речи, нулевой вектор будем иногда называть просто нулем.

Отметим простейшие следствия из определения.

1⁰. Нулевой вектор 0 из V  единственный.

В самом деле, предположив, что имеются два нулевых вектора 0₁ и 0₂, составим сумму 0₁+ 0₂. В силу 2-й аксиомы, эта сумма равна 0_2, так как 0₁ – нуль. С другой стороны, эта сумма равна 0₁, так как 0₂ тоже нуль_. Следовательно, 0₁= 0₂.

2⁰.Вектор (-а), противоположный вектору а, единственный.

Действительно, пусть (-a₁) и (-a₂) - векторы, противоположные вектору а. Составим сумму (-а₁) + а + (-а₂) и расставим в ней скобки согласно первой аксиоме. Тогда получим

( (-а₁) + а) + (-а₂) = (-а₁ )+ (а + (-а₂)), откуда следует, что 0 + (-а₂) = = (-а₁) + 0, то есть (-а₁) = (-а₂).

3⁰. 0а = 0.

Из аксиом 5 и 8 следует, что справедливы равенства:

a = 1а = (1+0)а = 1а + 0а = а + 0а. Так как а = а + 0а, то отсюда и следует 3⁰.

4⁰. 0 = 0.

Справедливость этого утверждения следует из верных в силу аксиом 2 и 6 равенств а = (а + 0) = а + 0.

5⁰. (-1)а = (-а).

Чтобы доказать это утверждение, воспользуемся уже доказанным свойством 3⁰. Имеем 0 = 0а= ((-1)+1)а = (-1)а +1а. С учетом аксиомы 8 получаем, что (-1)а + а = 0, а это и значит, что верно 5⁰.

Введем еще одно распространенное понятие, а именно: положим а – b = а +(-b) и такую сумму будем называть разностью векторов а и b.

Нетрудно указать примеры векторных пространств. Для этого достаточно вспомнить такие множества математических объектов, которые можно складывать между собой и умножать на числа (сами числа, функции, многочлены, геометрические векторы, матрицы, и т. д.).

Пример 1. Пусть Е – множество свободных геометрических векторов (направленных отрезков), складываемых по правилу параллелограмма и умножаемых на действительные числа обычным образом. Из аналитической геометрии мы знаем, что сложение и умножение на действительные числа, множество которых обозначим R, обладают свойствами 1-8 определения 1. Значит, Е – векторное пространство над полем R.

Пример 2. Пусть Pⁿ= (a₁,a_2,...,a_n) a_iP }  множество всевозможных упорядоченных наборов из n элементов поля P. Определим сумму двух наборов а = (а_1,…,а_n) и b = (b₁,…,b_n) как набор a + b = (a₁+b_1,…,a_n+b_n), а произведение числа  на набор а как набор а = (а₁,…,а_n). Проверка показывает, что введенное сложение наборов и умножение наборов на числа обладают свойствами 1-8. Следовательно, Pⁿ является векторным пространством над полем P. Если P = R, то Rⁿ называется n-мерным арифметическим векторным пространством.

Пример 3. Множество C всех комплексных чисел образует векторное пространство над полем действительных чисел, где сложение комплексных чисел и умножение их на действительные числа определяются обычным образом.

Пример 4. Пусть M(P)  множество всех (mn)-матриц с элементами из произвольного поля Р. Определяя сложение матриц и умножение их на числа стандартным образом, получим векторное пространство над полем Р.

Пример 5. Множество R(a,b) всех непрерывных действительных функций, заданных на промежутке [a,b], с обычным сложением и умножением на действительные числа, образует векторное пространство над полем R.

Пример 6. Множество P[x₁,x₂,…,x_n] всех многочленов от n переменных с коэффициентами из произвольного поля Р относительно обычных операций сложения многочленов и умножения их на числа образуют векторное пространство над полем Р.