7.3.3 Свойства автокорреляционной функции

Свойства автокорреляционной функции для стационарного случайного процесса 𝑋 (𝑡) были указаны в главе 2, и в конце раздела 2.6, и все время в среднем теперь может быть заменено статистическими средними. Эти свойства теперь легко доказать.

Свойство 1 говорит, что | 𝑅 (τ) | ≤ 𝑅 (0) для всех τ. Чтобы показать это, рассмотрим неотрицательную величину

(7.42)

где {𝑋 (𝑡)} является стационарным случайным процессом. После возведения в квадрат и почленного усреднения, получим

(7.43)

которая сводится к

(7.44)

потому что 𝑋2 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡 + τ) = 𝑅 (0) на стационарность {𝑋 (𝑡)}.

Свойство 2 говорит, что 𝑅 (-τ) = 𝑅 (τ). Это легко доказать, заметив, что

(7.45)

где была произведена замена переменных 𝑡'= 𝑡 + τ.

Свойство 3 гласит, что Нт | τ | → ∞ 𝑅 (τ) = 𝑋 (𝑡)2, если {𝑋 (𝑡)} не содержит периодического компонента. Чтобы показать это, заметим, что

(7.46)

где второй шаг очевиден, потому что взаимозависимость между 𝑋 (𝑡) и 𝑋 (𝑡 + τ) становится меньше, | τ | → ∞ (если не периодические компоненты отсутствуют), а последний шаг следует из стационарности {𝑋 (𝑡)}.

Свойство 4, в котором говорится, что 𝑅 (τ) является периодическим, если {𝑋 (𝑡)} является периодическим, следует отметить, что по среднему времени определяется автокорреляционная функция, вычисляется по формуле (2.161) что периодичность подынтегрального выражения определяет периодичность 𝑅 (τ).

Наконец, свойство 5, в котором говорится, что ℑ [𝑅 (τ)] неотрицательна, является прямым следствием теоремы Винера - Хинчина (7,21) и (7,25), из которого видно, что мощность спектральной плотности неотрицательна.

Пример 7.5

Процессы, для которых

(7.47)

где 𝑁0 является константой, которую обычно называют белым шумом ограниченной полосы частот, так как 𝐵 → ∞, имеются все частоты, и в этом случае процесс просто называют белым. 𝑁0 является односторонней мощностью спектральной плотности, не ограниченной полосы частот процесса. Для ограниченной полосой частот процесса белого шума,

(7.48) Поскольку 𝐵 → ∞, 𝑅 (τ) → 1/2

𝑁0δ (τ). То есть, независимо от того, насколько близко мы производим выборку белого шума, на образцах имеется нулевая корреляция. Кроме того, если, процесс является Гауссовым, образцы независимы. Процесс белого шума имеет бесконечную мощность и, следовательно, математическую идеализацию, но тем не менее, полезен в анализе систем.

7.3.4 Автокорреляционные функции случайной последовательности импульсов

В качестве другого примера расчета функций автокорреляции, рассмотрим процесс с функцией образца следующего вида:

(7.49)

Где …a_-1, a₀, a₁, … ,a_k …. Бесконечная последовательность случайных переменных с

(7,50)

Функция p(t) это определенный импульсный сигнал, где Т расстояние между импульсами. Случайная величина Δ не зависит от значения a_k равномерно распределена в интервале (-T/2,T/2). Автокорреляционная функция такого сигнала выглядит следующим образом:

(7.51)

Взяв математическое ожидание внутри двойной суммы и пользуясь независимостью последовательности {a_ka_k+m} и переменной задержки получим:

(7.52)

Подставляя переменную u=t-kT- Δ получим:

(7.53)

Окончательно получаем

(7.54)

Где

(7.55)

-импульсно-корреляционная функция.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 7.6

В данном примере рассмотрим случай, когда последовательность {a_k} построена следующем соотношением:

(7.56)

Где g₀ и g₁ постоянные и A_k, A_k-1 случайные величины, такие что A_k=±A, где знак определяется случайным образом независимо от импульса к импульсу для все k (отметим, что если g₁=0, то предыдущего значения нет). Это можно представить следующим образом:

(7.57)

Предполагаемая форма импульса p(t)=Π(t/T), таким образом импульсно-корреляционная функция:

(7.58)

Где, из главы 2, Λ(t/T) единица высоты треугольного импульса симметричного относительно t=0 и шириной 2T. Таким образом, автокорреляционная функция становится:

(7,59)

Применяя теорему Винера-Хинчина, спектральная плотность мощности X(t) оказывается:

(7.60)

(Картинки)

Рисунок 7.6. Спектр мощности бинарного сигнала. (а) – случай при отсутствии памяти (предыдущего значения). (b) – случай, в котором есть усиление связи между соседними импульсами. (c) – случай, когда связь между соседними импульсами диаметрально противоположна.

На рисунке 7.6 сравнивается спектр мощности для 2-х случаев: (1) g₀=1 и g₁=0; (2) g₀= g₁=1/√2 (усиление связи между соседними импульсами). Для первого случая в результате спектральная плотность мощность следующая:

(7.61)

Для второго:

(7.62)

В обоих случаях, g₀ и g₁ были выбраны таким образом, чтобы получить полную мощность 1Вт, что проверяется из графиков с помощью численного интегрирования. Отметим, что во втором случае наличие связи ограничило спектр мощности больше, чем без нее. Тем не менее, третий случай, показанный на нижнем графике, для которого g₀= -g₁=1/√2. Здесь ширина спектра больше чем во втором случае в 2 раза, но спектральный нуль появляется в f=0.

Можно предположить другие значения g₀ и g₁ и связь между не соседними импульсами.