§7. Неопределенный интеграл. Интегральное исчисление.

Рассматривая задачу моделирования ситуации с распространением заболевания, можно заметить одну особенность производной: при ее вычислении от функций n₂(t) и n*(t) получается один и тот же результат, что легко проверить самостоятельно. Следовательно, производная определяет исходную функцию неоднозначно, а с точностью до постоянной величины. Это можно понять, если помнить, что производная от константы равна нулю, а поэтому не имеет значения величина этой константы. Таким образом, всегда можно записать, что

, (18)

где символом Ф(x) обозначена неопределенная совокупность функций вида F(x) + C_i.

В общем случае, любая из функций Ф(x), для которой справедливо равенство: Ф’(x) = f(x) во всех точках области определения функции f(x), называется неопределенным интегралом или первообразной для функции f(x).

Из определения первообразной очевидно, что левую и правую часть можно умножать или делить на одну и ту же константу, так как равенство от этого не нарушиться: aФ’(x) = af(x). (19)

Поиск первообразной для f(x) называется интегрированием и записывается следующим образом: Символ обозначает операцию интегрирования, а функция f(x) – называется подинтегральной функцией. Очевидно основное свойство интеграла: производная от него по аргументу совпадает с подинтегральной функцией. Действительно, (см. (18)).

Для расчета неопределенного интеграла следует воспользоваться связью между подинтегральной функцией и первообразной функцией в виде производной. Рассмотрим несколько примеров вычисления неопределенного интеграла.

Пример 1. Пусть подинтегральная функция является степенной. Для нее можно записать следующее соотношение: (xⁿ)’ = nx^n-1. Тогда, считая правую часть подинтегральной функцией, по определению интеграла запишем: . Введем новое обозначение для показателя подинтегральной функции n – 1 = m. Тогда n = m + 1 и после подстановки новых обозначений в формулу для интеграла, получаем: . Деление левой и правой части (по свойству (19)) на одну и ту же постоянную величину (m+1) ≠ 0 дает первообразную от степенной функции:

, при m ≠ - 1.

При всех преобразованиях, константы С делятся или умножаются, а также складываются с другими константами, но остаются при этом постоянной величиной, которую принято не переобозначать.

Пример 2. Если в предыдущем примере m = - 1, то таким же образом действовать нельзя, но можно для подинтегральной функции, которая теперь имеет вид f(x) = x ^–1 = 1/x , подобрать среди табличных производных (см. Приложение) такую функцию, производная от которой дает подинтегральную функцию 1/х. Этому требованию удовлетворяет логарифмическая функция F(x) = lnx, для которой производная (lnx)’ = 1/x. Поэтому можно записать: .

Пример 3. Для экспоненциальной функции e^x интегрирование приводит к очевидному результату: .

Таким образом, использование таблицы производных, создавало таблицу неопределенных интегралов. Для сложных подинтегральных функций найдены приемы их вычисления. Первый из них связан с тем, что производные от суммы функций равны сумме производных, каждая из которых имеет свою первообразную. Поэтому интеграл от суммы подинтегральных функций равен сумме первообразных этих функций. Следующий прием основан на замене переменных. Рассмотрим конкретный пример.

Пример 4.

. При решении была использована замена переменных, указанная в круглых скобках.

Пример 5.

Если подинтегральная функция представляет собой произведение двух функций, то используется прием, который называется интегрированием по частям. Рассмотрим эту процедуру подробнее.

Пусть y(x) = f(x)∙g(x)=fg. Тогда имеем: . После умножения левой и правой части на dx и интегрирования левой и правой части, получаем: .

Окончательно правило интегрирования по частям записывается следующим образом: . (20)

Рассмотрим применение этого правила на примере.

Пример 6. Вычислить интеграл

Воспользуемся тем, что производная от экспоненты равна самой экспоненте: . Тогда, используя (20), можно записать:

.

Задача, таким образом, решена.