Часть II. Методические рекомендации по самостоятельной работе

Примеры решения задач (по разделам курса) и рекомендации к их решению.

Раздел 1. Поиск области определения функции.

1). . Решение. Так как при знаменателе дроби, равном нулю, функция становится неопределенной ( y = ∞), то она не определена в точках х , найденных из решения уравнения х² – 9 = 0. Корнями этого уравнения являются величины х₁ = 3 и х₂ = – 3, поэтому функция у определена на всей числовой оси, кроме точек: 3 и – 3.

2). . Решение: Так как выражение под корнем должно быть неотрицательной величиной, то искомую область определения функции следует искать из условия: 2х – 16 ≥ 0, откуда получаем, что х ≥ 8. Полученное решение можно изобразить на числовой оси (рис. 1).

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Рис. 1 К задаче 2).

Раздел 2. Построение графиков функций.

1). y = ax + b. Решение. Так как функция линейна, то для ее построения достаточно задать две точки. Для удобства вычислений координаты первой точки определим, положив х₁ = 0. Тогда у₁ = b и на графике появится точка А (0, b). Для второй точки В удобно положить у₂ = 0. В этом случае ах₂ = – b, откуда имеем: х₂ = – b/a. Координаты этой точки, таким образом, будут равны : В (– b/a, 0). Для построения графика выбираем оси координат, например, так, как это показано на рис. 2. На этом же рисунке начертим графики заданной функции при различных по знаку величинах а и b, то есть при а > 0 и b > 0 (линия 1); при а > 0 и b < 0 (линия 2); при а < 0 и b > 0 (линия 3); при а < 0 и b < 0 (линия 4).

При построении графика знаки величин а и b вынесены, поэтому сами числа положительны. При b = 0 линия 1 и линия 2 совпадут, направления их не изменятся, а график пройдет через точку (0,0), то есть через начало координат (пунктирные линии).

То же самое произойдет с линиями 3 и 4.

При а = 0, у = b = const и прямые

пройдут параллельно оси Ох через

точки ± b (пунктирные линии).

Рис. 2. Графики линейных функций

2). Следующий способ построения графика рассмотрим на примере показательной функции. В основу положим методику построения по точкам, то есть использование таблицы значений аргумента х и функции у = f(х).

Пусть f(х) = 2^х . Для построения графика составим Таблицу 1:

	х		-4		-3		-2		-1		0		1		2		3		4		5		6		7
f(х)		1/16 (0,06)		1/8 (0,125)		1/4 (0,25)		1/2 (0,5)		1		2		4		8		16		32		64		128

Рис. 3 Построение графика функции y = 2^х по точкам

Вид графика легче всего представить в простейшей форме, используя стандартную программу Excel, введением в ячейки программы нижнюю строку значений функции из Табл. 1. (Обозначение осей координат и их расположение требует некоторого дополнительного умения работы с программой Excel).

Если таким же способом строить график функции f(х) = 2^-х , то в Табл,1 положительные и отрицательные значения аргумента х поменяются местами. Вводить эти новые данные для совместного построения двух показательных функций: у = 2^х и у = 2^-х следует в обратном порядке – от большего значения к меньшему (справа – налево). В результате получаем на диаграмме (Рис. 4) общий вид графиков исследуемых показательных функций, где Ряд1 соответствует функции у = 2^х, а Ряд2 – функции у = 2^-х.

y(x)

x

Рис. 4 Построение графиков функций y = 2^х и y = 2^-х по точкам

Аналогичный результат можно получить и при построении графика на миллиметровой бумаге «от руки».

Таким же образом, составляя таблицу значений аргумента и соответствующих значений функции, строятся все основные математические функции:

• квадратичная: у = ах² + вх + с;

• степенная: у = а_nxⁿ + a_(n-1)x^(n-1) + ….+ a₂x² + ax + a₀ при n – целом и дробном, когда у = х^а/в = , положительном и отрицательном, когда у = х^-n = 1/xⁿ;

• экспоненциальная: у = е^±х, где е – иррациональное число, приблизительно равное 2,718281828459…, которое часто встречается при описании природных и социальных процессов (в области статистики, экономики, психологии, социологии);

• логарифмическая: у = log_ax и, в частном случае у = log₁₀x = lg x, а также, у = log_еx = ln x ;

• тригонометрические: sin x, cos x, tg x, ctg x.

Почти все эти функции хорошо известны из школьного курса математики, а способы их построения достаточно подробно изложены в рекомендуемой литературе. Математические операции, которые можно производить с показательными и логарифмическими функциями, представлены в Приложении к данным методическим рекомендациям.