5.3.1 Критерий согласия Пирсона х2

Для оценивания меры соответствия (расхождения) полученных эмпирических данных и каких либо теоретических распределений применяются различные статистические критерии. Критерии, которые используют с этой целью, называются критериями согласия.

В наиболее общем виде критериями согласия называют статистические критерии, предназначенные для проверки согласия опытных данных и теоретической модели.

Среди критериев согласия большое распространение получил непараметрический критерий К.Пирсона-критерий ² (хи-квадрат). Одной из причин такой популярности является возможность его использования с различными формами распределений совокупностей. Как и любой другой статистический критерий, он не доказывает справедливость нулевой гипотезы, а лишь устанавливает с определенной вероятностью ее согласие или несогласие с данными наблюдений. Величина критерия ² -есть величина случайная, так как в различных опытах она принимает неизвестные заранее значения. Не вдаваясь в математическое описание причин, следует отметить, что при п распределение этой случайной величины стремится к закону распределения ² с k степенями свободы. Поэтому критерий и назван по названию закона теоретического распределения % -критерий ² (хи-квадрат).

Вычисление критерия ² (хи-квадрат) на конкретных данных представлено в таблице.

Таблица 53

Пример вычисления критерия ²

Вес детей (кг)	Частоты (число детей)		Объединенные частоты		Р-Р	(Р-Р2)
	Эмпирич Р	Теоретич. Р	Эмпирич Р	Теоретич. Р		Р'
21	2	1,4
22	9	4.9	11	6,3	4,7	0,36
23	6	11.1	6	11,1	-5,1	0,41
24	11	16,1	11	16,1	-5,1	0,41
25	18	14.9	18	14,9	3,1	0,15
26	15	9,9	16	13,6	2,4	0,09
27	1	3.7
Итого	62	62	62	62		1,42

Условием применения этого метода является наличие не менее 5 наблюдений (частот) в каждой группе вариант. Для того, что бы это условие выполнялось, необходимо объединить малые частоты (в таблице объединенные частоты). После этого, значения критерия вычисляются в следующей последовательности:

1. Вычисляется разность между частотами эмпирических Р_j и теоретических Р_j распределений.

2. Чтобы погасить отрицательные значения этой разности она возводится в квадрат (Р_j - Р_j)². Для уменьшения числового размера результата, разность делится на величину эмпирических частот . В целом, ² (хи-квадрат) тем мeньше, чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты.

3. Число степеней свободы k, которое необходимо знать для определения справедливости нулевой гипотезы, устанавливаетcя в зависимости от вида распределения. При биноминальном (Пуассоновом) распределении k=S-2, при нормальном k=S-3. Где 5-число групп вариант. С учетом объединения групп, k=5-3=2.

4. Полученное значение критерия сравнивают с табличным или, найденным с помощью компьютера, теоретическим значением при заданном уровне значимости. В случае, когда вычисленный критерий больше табличного (теоретического) значения критерия ² , нулевая гипотеза, которая предполагает соответствие эмпирического и теоретического распределений, отвергается.

Способом определения достоверности различий распределений, с помощью которого можно выполнять оценку вручную и без использования таблиц, является оценка ²по правилу Романовского или по формуле Б.С. Ястремского.

По Романовскому нулевая гипотеза отвергается, если неравенство . В данном примере . Следовательно, опытное, эмпирическое распределение не отличается от нормального.

По Ястремскому нулевая гипотеза отвергается, если выполняется неравенство , где 0 - поправка на число групп вариант. При К<20 она равна 0,6. Подставляя значения из примера, получаем , что также не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу.

Следует отметить, что критерий ², как критерий согласия обладает существенным недостатком. Он не позволяет иногда обнаружить реально существующие различия, поскольку некоторые скрадывает» группировка, которая осуществляется исследователем входе начальной подготовки рядов распределений к анализу.

В ряде случаев ориентировочную оценку расхождения или совпадений распределений позволяет давать графический метод.

Рисунок 75.Соотношение теоретического и эмпирического распределений.

На представленной диаграмме эмпирическое распределение дано в виде гистограммы, а теоретическое - в виде кривой распределения.

Другие методики вычисления критериях Х², которые могут использоваться для решения задач оценки согласия распределений, представлены в разделах: «Оценка различий эмпирических распределений с помощью Ехсеl», «Коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона (С) и Чупрова (К)», а также «Вычисление критерия сопряженности в МS Ехсеl»