4.2.2 Мода и медиана

Большое значение при выборе характеристики среднего уровня имеет и распределение вариат в вариационных рядах. В ряде ситуаций вместо степенных средних более целесообразно использовать так называемые структурные средние. К ним относятся мода и медиана.

Мода (Мо) – наиболее часто встречающаяся в ряду распределения вариата. Она дает представление о центре распределения вариационного ряда. Используется:

- для определения центра распределения в открытых вариационных рядах;

- для определения среднего уровня в рядах с резко асимметричным распределением.

Например: требуется определить среднюю длительность госпитализации рабочих промышленных предприятий в связи с производственным травматизмом. При визуальном анализе графического изображения распределения (Рисунок 55) видно, что ряд распределения не симметричен: вершина распределения сдвинута в начало ряда. Если определять среднюю величину на основе среднего арифметического (М), то средняя длительность одной госпитализации составляет 4,2 дня. Однако чаще всего (Мо) длительность госпитализации составляла 3 дня.

Таблица 39

Распределение обследованных больных по длительности госпитализации

Число дней госпитализации v	Число рабочих p	Частости	Накопленные частости
2	6	0,10	0,10
3	18	0,30	0,40
4	14	0,23	0,63
5	10	0,17	0,80
6	6	0,10	0,90
7	3	0,05	0,95
8	2	0,03	0,98
9	1	0,02	1,00
Итого	60	1,00	-

Дни госпитализации

Рисунок 55. Распределение обследованных рабочих по длительности госпитализации

Установить моду в дискретном вариационном ряду не представляется сложным – варианта, встречающаяся с наибольшей частотой, и есть мода. В интервальном ряду нахождение моды сложнее.

В грубом приближении в качестве моды можно принять середину группы, на которую приходится наибольшая частота. Например: в вариационном ряду таблицы 33 наибольшая частота соответствует группе 156-157 см. Середина группы Более точный результат можно получить путем вычисления по формуле , где Vo – нижняя граница модального интервала; h величина интервала; P_MO – ₁ частоты предмонального интервала; P_{MO + 1} частоты после модального интервала. Итак, точное значение моды Практически, полученное значение равно приближенной оценке (157 см), полученной ранее.

Медиана – это серединная варианта, центральный член ранжированного ряда. Название медиана взято из геометрии, где так именуется линия, делящая сторону треугольника на две равные части. В статистике медиана приходится на тот член ранжированного ряда, который «рассекает» совокупность на равные части. Например, в совокупности

Таблица 40

Нечетное число (9) ранжированных вариант

Ранг	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Варианты	17	18	19	20	21	22	23	24	25

Медианой будет пятая по счету (ранг=5) варианта 21, ибо четыре значения (17, 18, 19, 20) лежат с одной стороны медианы, и столько же с другой (22, 23, 24, 25). Если вариант в ряду четное количество:

Таблица 41

Четное число (8) ранжированных вариант

Ранг	1	2	3	4	5	6	7	8
Варианты	18	19	20	21	22	23	24	25

то медиана равна полусумме двух средних вариант (21 +22)12= 21,5. Медиана в несгруппированном ряду для нечетного ряда, это варианта, имеющая ранг , или . (N – число вариант в ряду). Для четного ряда медианой является полусумма двух вариант с рангами и , или в примере полусумма вариант с рангами и , т.е. полусумма 5 и 4 по счету вариант.

В сгруппированном интервальном вариационном ряду положение медианы устанавливается по накопленным частостям или частотам. Варианта, соответствующая сумме частостей 0,5 (или 50% суммы частот) является медианой ряда. Наиболее наглядно положение медианы видно на диаграмме распределения с накопленными частотами (Рисунок 55).

Для точного определения медианы в интервальном ряду используется формула , где Vo – нижняя граница медианного интервала, h - величина S_me-1- накопленные частоты предмедианного интервала, S_me - накопленные частоты медианного интервала, Р_me – частота медиального интервала, N- число наблюдений.

Медиана применяется:

• для определения среднего уровня признака в числовых рядах с неравными интервалами в группах;

• для определения среднего уровня признака, когда исходные данные представлены в виде качественных признаков и когда единственным способом указать некий центр тяжести совокупности является указание варианты (группы вариант), которая занимает центральное положение;

• при вычислении некоторых демографических показателей (средней продолжительности предстоящей жизни);

• при определении наиболее рационального места расположения учреждений здравоохранения, коммунальных учреждений и т.п. Имеется в виду учет оптимальной удаленности учреждений от всех объектов обслуживания.

В настоящее время очень распространены различные опросы (маркетинговые, социологические и др.), в которых опрашиваемых просят выставить баллы изделиям, политикам и т.п. Затем из полученных оценок рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, выставленные коллективом опрошенных. При этом обычно для определения средних показателей применяют среднее арифметическое. Однако такой способ на самом деле применять нельзя, поскольку баллы - характеристики измеренные в порядковой шкале (см. выше), а вычислять среднее арифметическое характеристик, измеренных в порядковых шкалах, некорректно. Обоснованным в этом случае является использование в качестве средних баллов медианы или моды.