4.5 Оценка статистических параметров по выборочным данным

В практике медико-биологических исследований изучаются обычно выборочные, а не генеральные совокупности. Естественно, что замена исследования свойств генеральной совокупности исследованием свойств выборки порождает ряд вопросов:

1. В какой степени выборка отражает свойства генеральной совокупности, т.е. в какой степени выборка репрезентативна по отношению к генеральной совокупности?

2. Какую информацию о значениях параметров генеральной совокупности могут дать параметры выборки?

3. Можно ли утверждать, что полученные выборочным путем статистические характеристики (средние величины, дисперсия или любые другие производные величины) равны тем характеристикам, которые могут быть получены из генеральной совокупности.

Проверка показывает, что значения параметров, полученных для разных выборок из одной генеральной совокупности, обычно не совпадают. Рассчитанные выборочным путем, числовые значения являются лишь результатом приближенного статистического оценивания истинных значений этих параметров. Статистическое оценивание, в силу изменчивости наблюдаемых явлений, позволяет получать только их приближенные значения..

Примечание. Строго говоря, в статистике оценка - это правило вычисления оцениваемого параметра, а термин оценить, т.е. провести оценивание означает указать приближенное значение.

Различают оценки точечные и оценки интервальные. Проиллюстрируем точечные оценки простым условным примером. Пусть мы имеем генеральную совокупность N состоящую всего из 10 вариант. Среднее значение генеральной совокупности составляет М=(16-И8+20+22+24+26+28+30+32+34)/10=25,0. Затем получим среднее арифметическое выборочным путем. Для этого сформируем случайным способом три выборки с числом наблюдений 3,4 и 5 вариант. (Таблица 49)

Таблица 49

Пример выборочных совокупностей

Генеральная совокупность N		1 выборка	2 выборка	3 выборка
1	16			16
2	18		18
3	20	20	20
4	22	22		22
5	24			24
6	26	26	26
7	28
8	30			30
9	32		32
10	34			34
Число наблюдений	10	3	4	5
Среднее арифметическое	25,0	22,7	24,0	25,2
Отклонения выборочных средних от генерального среднего		2,3	1,0	-0,2

Полученные выборочные средние являются точечными оценками генерального среднего. Любая выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения генеральной характеристики и получаемая вычислением одного числа (точки), называется точечной статистической оценкой. При выборе способа получения точечных оценок учитывается, что они должны обладать свойствами состоятельности, несмещенности и эффективности.

Состоятельная оценка -точечная оценка, которая при неограниченном увеличении объема выборки приближается (сходится) к истинному значению оцениваемой генеральной характеристики. Например: по данным таблицы 49 среднее арифметическое в первой выборке составила 22,7. во второй - 24,0 , в третьей - 25,2. Нетрудно заметить, что по мере увеличения числа наблюдений, выборочные средние все больше приближаются к генеральному среднему (25,0). Соответственно абсолютные значения отклонений выборочных средних от генеральной уменьшаются (2,3; 1,0; 0,2). Таким образом, эти выборочные средние можно считать состоятельными точечными оценками генерального среднего. Следует отметить, что приведенный пример является условным. На практике обнаружить схождение выборочных характеристик удается при значительно большем росте числа наблюдений.

Несмещенная оценка -точечная оценка лишенная систематической ошибки. Например: выборочное среднее арифметическое является несмещенной оценкой генерального среднего. Т.е. выборочные средние могут иметь случайные отличия от генеральных. Если рассматривать несколько выборок из одной генеральной совокупности, то отклонения точечных оценок из этих выборок будут взаимно погашаться, а их суммарная точность будет возрастать по мере увеличения числа этих оценок. Выборочная оценка дисперсии - смещенная оценка. Не вдаваясь в описание причин, вызывающих систематические ошибки при вычислении выборочной дисперсии, следует отметить, что она дает всегда несколько заниженные оценки генеральной дисперсии. Поэтому, если для определения генеральной дисперсии по выборочным данным используют формулу , то получают смещенную точечную оценку генеральной дисперсии. Для получения несмещенной точечной оценки генеральной дисперсии на выборочных данных используют формулу расчета исправленной дисперсии . Из сравнения формул видно, что они отличаются лишь знаменателями. Очевидно, что при больших объемах выборки смещенная и несмещенная (исправленная) дисперсия отличаются мало. На практике пользуются исправленной дисперсией, если число наблюдений в выборке не превышает 30 вариант (n<30).

Эффективная оценка - такая точечная оценка, которая гарантирует наименьшее отклонение.