17.Интегралдық және дифференциалдық таралу функцияларды сипаттаңдар.

Метрологияның негізгі паспулаты бойынша өлшем нәтижелері және өлшем қателері кездейсоқ шама болады. Кездейсоқ шама болғандықтан оларды өңдеу үшін ықтималдық теорияның заңдылықтары пайдаланылады.

Ықтималдылық теориясы бойынша кездейсоқ шамаларды сипаттау үшін ең ыңғайлы әдісі таралу функцияларды пайдалану.

Таралу функциясы – өлшем нәтижесімен және оның пайда болу ықтималдылығының арасындағы байланысты көрсететін функцияны айтады.

	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
	0,02	0,1	0,3	0,25	0,15

Х

Негізгі пайдаланылатын таралу функциясының 2 түрі бар:

1. Интегралдық

2. Дифференциалдық

Интегралдық – әр өлшем үшін оның мәні белгілі бір мәннен кіші болу ықтималдығын көрсеткен фунцияны айтады.

Ғ(х) = Р {x_i < x} өлшенетін шаманың белгілі бір х-тен кем болуын көрсететін ықтималдылық.

Ғ(х) = Р {∞ < x_i < x}

Қасиеттері:

1. Ғ(х) ≥ 0 оң таңбалы функция;

2. Кемімейтін функция, егер х₂ > х₁ => Ғ(х₂) > Ғ(х₁)

3. Фунция 0 ≤ Ғ(х) ≤ 1 жатады

4. Осы функция пайдаланылатын шама аралығын анықтауға болады.

Р {x₁ < x ≤ х₂}= Ғ(х₂) - Ғ(х₁) осы белгілі бір аралығында жатуы ықтималдылығы – шектерінің айырымына тең.

Ғ(х)

1

Х

Кездейсоқ шамаларды сипаттау үшін интегралдық таралу функциясынан гөрі дифференциалдық таралу функциясы ыңғайлы болады.

Дифференциалдық таралу функциясы

Р(х) = дифференциялық таралу функциясы – интегралдық таралу функциясының аргумент бойынша дифференциалына тең.

Ғ(х) =

Ғ(х) = Р {- ∞ < x_i ≤ x}

Қасиеттері:

1. Р(х) ≥ 0 оң таңбалы

2. Нормальдау шарты орындалады = 1

3. Кездейсоқ шаманың белгілі бір аралықта жату ықтималдылығын анықтауға болады

Р {х₁ < x_i ≤ x₂} =

dx

dδ

х₁ х₂ х

Р(δ) = кездейсоқ қате

Р { δ ₁ < δ ≤ δ ₂} =

δ = X – Q х – шын мәніне тең болса, кездейсоқ қате 0-ге тең.

Р(х) Математикалық күтім

m_x = M[x] =

0 х

Кездейсоқ қате үшін

= M[δ] =

Математикалық күтімді өлшенетін шаманың шын мәнінің орнына алуға болады.

θ = M[x] – Q

жүйелі қ. шын мәні

мат.күтім

θ = 0 => M[x] = Q

Егер жүйелі қате жойылған кезде мат.күтімді шын мәнінің орнына алуға болады.

18. Чебышев теңсіздіктері және 3δ ережесі кездейсоқ қатені бағалауда қалай қолданылады?

Дисперцияны пайдаланып біз кездейсоқ қатенің алдын ала алынған аз шаманың мәнінен кіші болу ықтималдылығын анықтауға болады.

P {δ < ε } ε = 0,01

D[x] = _x² =

_x² ≥ +

_x² ≥ +

δ < ε

_x² ≥ + = + ]

_x² ≥ [1-P{- }]

_x² ≥ [1-P{ ǀ}]

P { ǀ} > 1 -

Чебышев теңсіздіктері

P{ ǀ} >

Үш сигма ережесі ε = 3

P{ ǀ} > 1 - = 1-

P{ ǀ} = ≈ 89 %

P{ ǀ} = 99,73 % Гаусс таралуы үшін ең көп таралған, ең жиі таралған ықтималдылығы

негізгі сақталатыны

Үшінші орталық момент – ассиметрия М₃[x]

S_k = , S_k = 0 – симметриялы функция

S_k =0 S_k<0

S_k >0

Төртінші орталық момент – Е – эксцесс

Е = - 3 - бұл шама таралудың графигі үшкір немесе жалпақ болуын көрсетеді.

= 3

E>0

E=0

E<0