3. Стационарное электрическое поле

Задача Б.1.

При векторе напряженности E = 3x ×1x - 2y ×1y + cz ×1z , (В/м)

определить модуль вектора плотности тока δ (А/мм2) в точке с коорди-

натами x=0,2 (м), y=0,2 (м), z=0,2 (м) при заданной удельной проводи-

мости среды γ=15·106 (1/Ом·м).

Решение.

Для определения коэффициента c вектора напряженности

используем законы Ома и Кирхгофа в дифференциальной форме

divD= div(g E) =g × div(E) = 0,

Задача Б.2.

При заданном векторе плотности тока

δ = 4x ×1x + 3y ×1y - 7z ×1z , ( А/мм2).

Определить значение потенциала φ (В) вида φ = Ax2 + By2 + Cz2 в точке с

координатами x=3 (м), y=2 (м), z=1 (м) при известной удельной прово-

димости среды γ=10·106 (1/Ом·м).

Решение. Переведем заданный вектор плотности тока δ в (А/м2) и

по закону Ома в дифференциальной форме запишем вектор напряжен-

ности:

Далее на основании уравнения …

Задача 3.1.

Потенциал постоянного электрического поля в проводящей среде с удельной проводимостью 10^-4 См/м изменяется по закону φ=cx^2-cy²+d, где c=1 В/м; d=2 В.

Найти законы изменения плотности тока δ и divδ.

Подсчитать ток, протекающий через квадратную площадку со стороной a=50 см, которая расположена параллельно плоскости x0y и находится на расстоянии b=10 см от нее.

Задача 3.2.

Плотность тока проводимости в первой среде равен 10 А/мм². Определить плотность тока во второй среде, если θ₁=45º. А отношение проводимостей

γ₂/ γ₁ = 1.73

Задача 3.3.

К коаксиальному кабелю приложено постоянное напряжение 1000 В. Длина кабеля 1 км. Отношение r₂/r₁ равно 2.72.

Удельная проводимость изоляции равна 1·10^-6 Ом^-1м^-1. Определить ток утечки кабеля.

Задача 3.4.

Удельные проводимость диэлектриков слоев двухслойной изоляции цилиндрического коаксиального кабеля равны γ₁=10^-8 См/м; γ₂=10^-9 См/м; r₁=3 См; r₃=5 См; r₂=4 См. Определите подведенное к конденсатору напряжение, при котором ток утечки составляет 2·10^-3 А. Длина кабеля 1 км.

Задача 3.5.

К коаксиальному кабелю приложено постоянное напряжение 1000 В. Длина кабеля 1 км. Отношение r₂/r₁ равно 2.72.

Ток утечки кабеля равен 6.28 мА.

Определить удельную проводимость изоляции.

Определить ток утечки кабеля.

Задача 3.6.

П олусферический заземлитель погружен в почву с удельным сопротивлением r=50000 Ом·см. С заземлителя растекается ток I=200А. Найти шаговое напряжение на расстоянии а=10м от заземлителя

(шаг l=0,8м).

Задача 3.7.

О пределите удельную проводимость грунта, если радиус заземлителя R0=25 см, I=5 кА, a=40 см, b=100 см. Вольтметр показывает U=100 В.

Задача 3.8.

Плоский конденсатор с двухслойным диэлектриком имеет площадь обкладок 20 см²; толщину слоев d₁=1 см; d₂=0,5 см; γ₁=10^-9 См/м; γ₂=5·10^-9 См/м. Конденсатор включен под постоянное напряжение 200 В. Определить проводимость утечки через изоляцию кабеля. Найти напряжения на каждом слое изоляции.

Задача 3.9.

О пределить ток при коротком замыкании одной из фаз (U_ф = 30 кВ) линии на опору, если радиус фундамента R=3.14 м; удельная проводимость грунта равна 0.1 См/м. Удельная проводимость материала фундамента много больше удельной проводимости грунта. Для упрощения расчетов будем считать, что фундамент опоры имеет форму полу­шария с радиусом R.

Задача 3.10.

П роводящая пластина представляет собой ¼ диска. Внутренний радиус диска r₁=1 см, внешний радиус - r₂=2.72 см. Толщина пластины h=0.1 см; удельная проводимость γ=10⁷ См/м. Между электродами 1 и 2 поддерживается постоянная разность потенциалов. Найти разность потенциалов между электродами, если наибольшее значение плотности тока J=3.18·10⁶ А/м².

Задача 3.11.

Плоский конденсатор с диэлектрической проницаемостью ε_r=3.14, γ=10^-8См/м и d=1 см подключен под синусоидальное напряжение u(t)=200sin(360t+45º) B. Определить выражение мгновенной плотности тока в конденсаторе. Краевым эффектом пренебречь.

Задача 3.12.

К плоской проводящей шайбе с помощью медных пластин, врезанных в шайбу радиально, подключён источник постоянного напряжения. Удельное сопротивление материала шайбы  = 0,5∙10 ^-6 Ом∙м, размеры шайбы: толщина а = 1 мм, внутренний радиус r₁ = 5 см, внешний радиус r₂ = 8 см.

Определить наибольшее и наименьшее значения плотности тока в шайбе, а также ток через источник напряжения U = 1,57 В.

Задача 3.13.

Р ассчитать ток утечки плоского двухслойного конденсатора и тепловые потери в единице объёма второго диэлектрика.

d₁ = 1 см, d₂ = 2 см, g₁ = 5·10^-8 См/м,

g₂ = 2·10^-8 См/м, U = 1,8 кВ, S = 0,01 м².

Задача 3.14.

В плоском конденсаторе с несовершенной изоляцией удельная проводимость меняется по закону γ=γ₀(1+kx); γ₀ =10^-10; k=20 м^-1. Диэлектрическая проницаемость ε_r=4; d=0.5 см. Конденсатор подключен под постоянное напряжение 200 В. Пренебрегая краевым эффектом, найти закон изменения плотности объемного заряда и закон изменения потенциала .

Задача 3.15.

В подземных условиях шахт защитное заземление часто выполняется в виде полуцилиндра длиной l и радиусом r₀, как показано на рисунке.

Размеры заземлителя: l = 2,5 м; l/r₀ = 2.72. Удельная проводимость почвы  = 0,32 cм/м.

Рассчитать сопротивление заземлителя.

Задача 3.15.

В доль прямолинейного цилиндрического биметаллического провода протекает ток I. Удельные проводимости слоев провода γ₁ и γ₂. Найти плотность тока во внешнем слое провода.