§ 1.4. Виведення виразів для коефіцієнтів Ейнштейна

Виведемо вирази для коефіцієнтів Ейнштейна А_тп i В_тп. Для цього розглянемо частку, що знаходиться під дією електромагнітного поля. Частку будемо описувати квантово-механічно, а поле - класично. Завдання вирішимо в рамках теорії збурень.

Нехай H - гамільтоніан системи частка - поле

Н = Н° + Н^в, (1.35)

де Н° - гамільтоніан частинки без врахування взаємодії частинки з полем (незбурений Гамільтоніан); Н^в - гамільтоніан взаємодії.

Припустимо, що відоме рішення рівняння Шредінгера з незбуреним гамільтоніаном, причому W_n - власне значення незбуреного гамільтоніана; відповідну ж хвильову функцію неважко знайти. Дійсно, хвильова функція ψ_n0 повинна задовольняти рівняння Шредінгера:

(1.36)

Інтегруючи це рівняння за часом, отримуємо хвильову функцію n-го незбуреного стану:

(1.37)

де U_n - координатна частина хвильової функції, яка не залежить від часу.

Хвильову функцію ψ обуреного стану [з гамільтоніаном (1.35)] будемо шукати у вигляді лінійної комбінації хвильових функцій незбуреного стану:

(1.38)

Ця функція задовольняє рівняння Шредінгера з гамільтоніаном (1.35):

(1.39)

Тепер сформулюємо завдання. Необхідно обчислити коефіцієнти Ейнштейна А_тп i В_тп. Для цього можна скористатися формулою (1.3а), що зв'язує три величини: ймовірність поглинання за одиницю часу W_nm, спектральну щільність енергії електромагнітного поля ρ_v і коефіцієнт Ейнштейна В_nт. Якщо обчислити величину W_nm для відомого значення ρ_v, то їхнє ставлення дає коефіцієнт Ейнштейна В_тп. Знаючи ж коефіцієнт В_пт=В_тп, з формули (1.13) можна визначити коефіцієнт Ейнштейна А_тп.

Величина W_nm виражається через коефіцієнти a_n{t) хвильової функції (1.38) збуреного стану. Обчислимо ці коефіцієнти. Підставимо функцію виду (1.38) в рівняння (1.39):

Останній член в лівій частині і перший член в правій частині цієї рівності взаємно наводяться внаслідок співвідношення (1.36). В результаті отримуємо

(1.40)

Множачи праву і ліву частини цієї рівності на ψ*_k0 та інтегруючи за об'ємом V з урахуванням умови ортогональності хвильових функцій, що маємо

(1.41)

У інтеграл в правій частині рівняння підставляємо явний вигляд хвильових функцій ψ*_k0 і ψ_n0. Тоді

. (1.42)

Якщо ввести позначення

(1.43)

(1.43а)

то рівняння (1.41) прийме остаточний вигляд

(1.44)

Знайдемо його рішення, вважаючи Гамільтоніан взаємодії малим обуренням. Припустимо, що за відсутності обурення система перебувала тільки в одному з стаціонарних станів, наприклад в стані m. Це означає, що в момент, коли було включено обурення (t = 0), коефіцієнти

(1.45)

Це нульове наближення; індекс (0) при коефіцієнті a_k і позначає нульове наближення. Для, визначення першого наближення знайдемо a_k у вигляді a_k=а_k ⁽⁰⁾+ а_k ⁽¹⁾-..., тобто для k=m a_m=1+ а_m ⁽¹⁾...,, а для решти станів а_k = а_k ⁽¹+… Права частина рівняння (1.44) містить малі члени H^B_hn (мале обурення), тому в неї треба підставити вираз a_n=1 (нульовий порядок) для n = m. Всі інші коефіцієнти а_п⁽⁰⁾ при п≠т дорівнюють нулю, тому замість суми залишається тільки один член. У першому наближенні замість рівняння (1.44) будемо мати

(1.46)

Рівняння (1.46) легко проінтегрувати. В результаті отримаємо

(1.47)

Далі необхідно обчислити матричні елементи Гамільтоніан взаємодії Н_kт^B. Для цього потрібно знати вид Гамільтоніан взаємодії.

Розглянемо найбільш просту модель частки (атома). Нехай атом складається з нескінченно важкого ядра з ефективним потенціалом K_n, електрона з масою m і зарядом e. Тоді для електрона, що рухається в електромагнітному полі з векторним потенціалом А, скалярним потенціалом φ_п і в стаціонарному полі з потенціалом V_n, повний Гамільтоніан має вигляд

(1.48)

де р - оператор імпульсу.

Розкриємо круглу дужку у виразі для гамільтоніана і врахуємо, що комутатор операторів р и A має вигляд рА—Ap= —ihdiv A. Тоді гамільтоніан H набуває вигляду

(1.48a)

За допомогою градієнтного перетворення завжди можна вибрати потенціал електромагнітного поля під час відсутності зарядів таким чином, що φ_п=0 і divA = 0. Крім того, зазвичай член, пропорційний А², значно менше члена, що містить векторний потенціал у першій степені, тому ним можна знехтувати. З огляду на це, отримуємо вираз для повного Гамільтоніан системи частка - поле:

(1.49)

Члени укладені в круглу дужку, являють собою незбурений Гамільтоніан H₀, а член - частина повного гамільтоніана, що визначає взаємодію. Таким чином, гамільтоніан взаємодії має вигляд

(1.50)

Нехай електромагнітне поле є монохроматичною хвилею з хвильовим вектором k, тобто

(1.51)

Тоді гамільтоніан взаємодії H^в має вигляд

(1.52)

Обчислення матричних елементів Н^B_km зводиться до обчислення матричних елементів виразів, що стоять у квадратних дужках цього виразу, а саме:

(1.53)

Підставляючи матричні елементи (1.53) в рівняння (1.47) та інтегруючи його, одержуємо

(1.54)

З цього виразу видно, що перший член в ньому великий, якщо частота електромагнітної хвилі ώ близька до частоти переходу ώ_km, тобто якщо виконується умова ώ= ώ_km =W_k -W_n /h. Таким чином, перший член пов'язаний з переходом у стан k, яке вище стану m на величину енергії hώ. При такому переході внутрішня енергія частинки збільшується за рахунок енергії електромагнітного поля, тобто перший член описує процес резонансного поглинання (або просто поглинання). Другий же член виразу (1.54) великий, якщо виконується умова . Отже, в цьому випадку стан k нижче стану m на величину енергії hώ. Тоді при переході в стан k внутрішня енергія частинки зменшується на величину hώ, енергія віддається електромагнітному полю. Таким чином, другий член у виразі (1.54) описує перехід за рахунок індукованого випромінювання.

Оскільки нашим завданням є обчислення ймовірності поглинання, що входить в формулу (1.3а), то в коефіцієнті a_k(t) залишимо лише перший член, що описує процес поглинання. Відомо, що ймовірність знаходження системи в енергетичному стані k в момент часу t дорівнює |a_k(t)|² , тобто у постановці даного завдання

(1.55)

Тут замість скалярного А₁p введена проекція вектора р на напрямок вектора А₁, а саме р_A. Тоді А₁p= А₁p_A. Наведемо формулу для квадрата модуля матричного елемента, що входить у вираз (1.55), в дипольному наближенні без обчислень:

(1.56)

де r_km - матричний елемент оператора зсуву.

Неважко бачити, що квадрат модуля у виразі (1.55) можна перетворити до вигляду

(1.57)

Підставляючи вирази (1.56) і (1.57) в рівність (1.55), отримуємо, що ймовірність знаходження системи в стані k в момент часу t

(1.58)

Розглянемо цей вислів. Для цього вивчимо поведінка множника

при досить великих значеннях t.

По-перше, якщо вибрати величину такою малою, що

або

,

тобто розглянути множник Q₁ поблизу точки ώ = ώ_km, то sin можна розкласти в ряд, обмежившись першим членом розкладання. Тоді

Таким чином, множник Q₁ поблизу точки зростає з ростом t і при t ∞стає нескінченним. По-друге,

(1.59)

де введено позначення . Але обидва ці умови означають, що множник Q₁ задовольняє всім вимогам, що пред'являються до б-функції. Тому при великих значеннях t його можна апроксимувати б-функцією, а саме записати . Множник очевидно, тоді можна представити у вигляді

(1.60)

де використане таку властивість б-функції:

(x-аргумент, а - деякий множник).

Підставляючи формулу (1.60) у вираз (1.58), отримуємо

. (1.61)

Розділивши цей вираз на t, отримаємо ймовірність переходу за одиницю часу *:

(1.62)

* При поставлених в задачі початкових умовах |а ^ (t)\² є не тільки ймовірність знаходження частинки на рівні k, але і ймовірність переходу на цей рівень. Знак lim в (1.61) і далі означає «при дуже великих t».

Наявність б-функції у формулах (1.61) і (1.62) виражає закон збереження енергії. Саме ймовірність процесу поглинання стає нескінченною при резонансі ( ) і звертається в нуль, якщо ( ) .

Спектральна лінія переходу в розглянутому наближенні для системи з дискретними рівнями енергії нескінченно вузька. Слід зазначити, що при обліку кінцевої ширини енергетичних рівнів чи обліку ширини лінії, пов'язаної з індукованим випромінюванням, ймовірність поглинання хоча і максимальна при виконанні резонансної умови ( ), але кінцева, а спектральна лінія переходу має кінцеву ширину. У кінці розділу дається суворе рішення задачі про дворівневу систему в електромагнітному полі. Наведене там рішення може служити ілюстрацією цього положення.

Тепер визначимо величину , що входить до формули, через абсолютну величину вектора потоку енергії S:

Підставляючи сюди вираз (1.51) і вважаючи, що комплексний вектор А₁ може бути представлений у вигляді , де - деяка фаза, а е - одиничний вектор у напрямку вектора A₁, отримаємо

(1.63)

Усереднимо величину потоку енергії по періоду коливань 2π /ω. Тоді . Звідси (1.64)

Підставляючи вираз (1.64) в формулу (1.62), отримуємо

(1.65)

При виведенні цієї формули електромагнітне поле вважалося суворо монохроматичним. Тим часом воно зазвичай володіє деякою кінцевою шириною спектру. Тому в загальному випадку замість середньої, по періоду коливань величини потоку енергії слід ввести спектральну щільність інтенсивності випромінювання S(w) і для спектрального інтервалу ширини dw замінити S_cp на S(w)d(w). Формула (1.65) в цьому випадку буде визначати ймовірність переходу в одиницю часу під дією випромінювання в смузі частот dw і прийме вигляд

. (1.66)

Проінтегруємо цей вираз по вузькому спектру частот в області . Результат дає повну ймовірність переходу з поглинанням кванта, тобто

(1.67)

Нарешті, виражаючи спектральну щільність інтенсивності випромінювання через спектральну щільність енергії за формулою , отримуємо

(1.68)

Для отримання коефіцієнта Ейнштейна В_kт в дипольному наближенні порівняємо формулу (1.68) з формулою (1.3а). Маємо

(1.69)

Для того щоб отримати в явному вигляді другий коефіцієнт Ейнштейна A_mk, скористаємося встановленими в § 1.1 [див. формулу (1.13)] співвідношенням між коефіцієнтами В_kт і А_kт:

(1.70)

де наведено два вирази для коефіцієнта Ейнштейна А_kт : одне - через частоту переходу ώ_km, інше - через довжину хвилі випромінювання, що відповідає переходу k↔m.

Корисно провести деякі оцінки. Нехай величина е|r_km| (дипольний момент переходу) дорівнює 5 10^-18 СГС (5 Дебай). Це відповідає дозволеному електричному дипольному переходу. Нехай λ_km = 1см (1 104 мкм) (радіодіапазон). Тоді з формули (1.70) випливає, що A_hm= 0,8 1O^-5 с^-1. Якщо ж величина e\r_km\ порядку 10^-20 СГС (магнітний дипольний перехід), то A_hm = 10^-11 с^-1. Величина τ_сп=1/ A_hm визначає час життя частинок на рівні k за рахунок спонтанних переходів на рівень m. Проведені оцінки показують, що в радіодіапазоні цей час дуже великий: 10⁵ с (для електричних дипольних переходів) і 10¹¹ с (для магнітних дипольних переходів) , і, отже, спонтанне випромінювання в радіодіапазоні не грає зазвичай великої ролі. В оптичному ж діапазоні його роль істотно зростає. Дійсно, якщо λ_km = 0,4 мкм = 4-10^-5 см (фіолетова межа видимої області спектра), то, як випливає з формули (1.70), коефіцієнт Ейнштейна A_km зростає приблизно в 10¹⁵ раз (інші величини у формулі беремо такими ж , як у проведених вище оцінках для радіодіапазоні).