§ 1.3. Можливість посилення в середовищах з негативною температурою. Умова самозбудження квантового генератора

Зазвичай навіть при невеликих спектральних щільностях електромагнітного поля потужність індукованого випромінювання значно перевищує потужність спонтанного випромінювання, тому для простоти у наведених міркуваннях спонтанне випромінювання не будемо враховувати.

У § 1.1 розглянута система часток з двома виділеними рівнями m i n. Для визначення властивостей спонтанного та індукованого випромінювання, а також поглинання, услід за Ейнштейном, був розібраний випадок, коли випромінювання системи частинок знаходиться в термодинамічній рівновазі з оточуючими частки стінками. Нагадаємо, що при цьому індуковане випромінювання системи (спонтанним випромінюванням нехтуємо) дорівнює поглинанню системи.

Чи можливо, щоб індуковане випромінювання системи частинок перевищувало поглинання, тобто середовище (система часток) посилювало електромагнітне випромінювання, що проходить через неї? За допомогою висновків, отриманих в § 1.1, неважко відповісти на це питання. Дійсно, для того щоб середовище посилювало випромінювання, число випромінювання в ній квантів поля в результаті індукованих переходів повинно перевищувати число поглинених квантів. Число квантів, випромінювання частинками з верхнього рівня в результаті індукованих переходів, визначається формулою (1.5), а число зайнятих тільки квантів поля - формулою (1.6). Отже, для посилення необхідно, щоб

N_mVB_mnρ_vdt> N_nVB_nρ_vdL

Скорочуючи на ρ_vVdt і враховуючи, що для коефіцієнтів Ейнштейна В_тп і В_пт справедлива рівність (1.10), отримуємо умову, необхідну для посилення випромінювання:

N_m>N_n. (1.22)

Умова (1.22) означає, що між рівнями m і n створена інверсія кількістю населення, або рівні m і n характеризуються негативною температурою. Неважко бачити, що умова (1.22) протилежно умові (1.20), тобто в системі рівнів, яка характеризується позитивною температурою, неможливо посилення випромінювання.

Середовище (речовина), в якій здійснена інверсія кількістю населення, називають активним середовищем (речовиною).

Наведемо деякі формули і визначення. Починаючи з формули (1.8), передбачалося, що статистичні ваги розглянутих двох рівнів рівні одиниці. Якщо ж статистична вага рівня m дорівнює g_m, а рівня n дорівнює g_n, то формули, починаючи з (1.10), будуть відрізнятися. Співвідношення між коефіцієнтами Ейнштейна набудуть вигляду:

g_mB_mn=g_nB_nm (1.23)

(1.23a)

Замість формули (1.19) отримаємо

(1.24)

Нарешті, для посилення в середовищі необхідно в загальному випадку, щоб виконувалася нерівність

(1.25)

Виведення всіх цих формул проводиться так само, як і висновок відповідних формул для невироджених рівнів.

За наявності виродження змінюється і визначення населеності енергетичного рівня. Населення зазвичай називають число частинок на даному енергетичному рівні в 1 см³ речовини, поділене на статистичний вага рівня.

До цих пір використано поняття спектральної щільності енергії випромінювання ρ_v. Іноді зручніше користуватися величиною I(v)=cρ_v /hv - інтенсивністю випромінювання, тобто числом квантів в інтервалі частот від v до v + dv, що проходять через одиничну площадку в одиницю часу. Величина T=∫T(v)dv являє собою повну (інтегральну) інтенсивність випромінювання. Надалі обидві величини І(v) і І будемо називати інтенсивністю, розрізняючи їх тільки наявністю або відсутністю аргументу v в дужках.

Нехай майже монохроматична електромагнітна хвиля інтенсивності І поширюється в активному середовищі вздовж деякого напрямку z. Зміна інтенсивності хвилі в активному середовищі описується рівнянням

dI = GIdz, (1.26)

де величина G носить назву коефіцієнта квантового підсилення активного середовища і є кількісною характеристикою властивостей активного середовища.

Виразимо коефіцієнт квантового посилення через інверсну заселеність рівнів середовища і поперечний переріз індукованого випромінювання. Поняття «поперечний переріз» для процесів індукованого випромінювання і поглинання часто використовують у квантовій електроніці. Воно позначається σ(v) з відповідними індексами, тобто в ухваленій нами системі двох рівнів man (m-верхній рівень): σ_mn(v) -перетин індукованого випромінювання, a σ_nm(v) -перетин індукованого поглинання.

Введемо σ (v) як величину, що зв'язує між собою ймовірність індукованого переходу dWmn та інтенсивність випромінювання I (v). Зв'язок між ймовірністю і перетином індукованого переходу має вигляд

dW_mn = σ_mn(v)I(v)dv. (1.27)

Після інтегрування по всіх частотах рівності (1.27) отримуємо

W_mn = ∫σ_mn (v) /(v) dv. (1.27a)

Зокрема, якщо випромінювання має дуже вузький спектр в околиці частоти v₀, то в межах ширини цього спектру поперечний перетин σ_mn можна вважати постійним, тобто σ_mn(v)= σ_mn(v₀). Винесимо з-під знака інтеграла і одержимо

. (1.276)

Коефіцієнт квантового посилення виражається через перетин індукованого випромінювання та населеності рівнів середовища в такий спосіб:

(1.28)

При відсутності виродження (g_m—g_n=1) формула (1.28) переходить у

G(v)=σ _mn(v)(N_m-N_n). (1.28а)

У формулах (1.28) і (1.28а) N_m і N_n, як і раніше, є число частинок в одиниці об'єму активного середовища на рівнях m і n відповідно, тобто ці величини мають розмірність довжини в ступені мінус три. Перетин має розмірність площі, а отже, коефіцієнт квантового посилення має розмірність зворотнього довжини і зазвичай вимірюється в см^-1.

З формул (1.28) і (1.28а) видно, що якщо N_m>N_n (відсутність виродження) або N_m>N_n g_m/g_n - (наявність виродження), то G(v)>0 і згідно з формулою (1.26) середовище посилює електромагнітне випромінювання, що проходить через неї. Підкреслимо, що при поширенні хвилі в активному середовищі частина інтенсивності хвилі може губитися за рахунок всякого роду втрат (наприклад, розсіювання на неоднорідностях середовища і т. д.). При цьому зміна інтенсивності хвилі при розповсюдженні її в середовищі тільки за рахунок втрат описується рівнянням

dI=-G_nfdz, (1.26а)

де G_п - коефіцієнт втрат, що служить кількісною характеристикою втрат в активному середовищі.

Очевидно, якщо врахувати як підсилювальні властивості активного середовища, так і втрати, що вносяться середовищем, то зміна інтенсивності хвилі в активному середовищі буде описуватися рівнянням

dT=(G-G_n)ІdZ. (1.29)

Інтегруючи рівняння (1.29), отримуємо

I=I₀eхр [(G-G_n)z]. (1.30)

Ця формула визначає зміну інтенсивності електромагнітної хвилі при розповсюдженні її в активному середовищі. Інтенсивність хвилі в середовищі наростає, якщо коефіцієнт квантового підсилення не тільки більше нуля, але більше коефіцієнта втрат активної середовища. Це є умова, за якої активне середовище є підсилювачем для електромагнітного випромінювання, що проходить через неї.

Підсилювальні властивості активного середовища можна підвищити, застосовуючи відомий в радіофізиці принцип позитивного зворотного зв'язку. Він полягає в тому, що частина посиленого сигналу повертається назад в активне середовище і знову, проходячи через нього, посилюється. У результаті такого дворазового (а взагалі багаторазового) проходження електромагнітної хвилі через активне середовище її інтенсивність зростає більше, ніж при одноразовому проходженні. Більш того, якщо позитивний зворотний зв'язок настільки великий, що посилення, що досягається за її допомогою, перевищує сумарні втрати підсилювача і ланцюга зворотного зв'язку, то підсилювач самозбудиться і перетвориться на генератор, тобто сам буде генерувати електромагнітну хвилю, навіть якщо в активне середовище не надходить ззовні електромагнітна хвиля.

Д ля створення позитивного зворотного зв'язку у квантовій електроніці використовують резонатори: в радіодіапазоні - об'ємні резонатори, а в оптичному діапазоні - систему напівпрозорих дзеркал - так звані відкриті резонатори.

З'ясуємо умову самозбудження квантового генератора на прикладі схеми позитивного зворотного зв'язку, яка використовується в оптичних квантових генераторах (лазерах). Звернемося до рис. 1.2, на якому показана принципова схема оптичного квантового генератора: два напівпрозорих плоских дзеркала 1 і 2 і активне середовище 3 між ними.

Нехай електромагнітна хвиля інтенсивності І поширюється вздовж осі z, відбиваючись поперемінно від обох дзеркал. Досягнувши одного з дзеркал, хвиля частково відбивається від нього (ця частина залежить від коефіцієнта відбиття дзеркала) і рухається знову через активне середовище у зворотному напрямку. Таким чином, електромагнітна хвиля при русі між дзеркалами зазнає двоякої зміни. З одного боку, якщо коефіцієнт квантового підсилення активного середовища G більше коефіцієнта втрат G_n, то інтенсивність хвилі зростає [див. формулу (1.30)], з іншого боку, частина інтенсивності хвилі втрачається (не повертається в середу) на дзеркалі. Генерація починається тоді, коли хвиля стає самопідтримуваною, тобто втрати на дзеркалах компенсуються посиленням в середовищі.

Виведемо умову існування в генераторі самопідтримуваної хвилі (умова самозбудження). Будемо для визначеності розглядати рух хвилі зліва направо (від дзеркала / до дзеркала 2). Якщо інтенсивність хвилі на дзеркалі 1 позначити І₁₀ і вважати, що відстань між дзеркалами рівна α, то згідно з формулою (1.30) інтенсивність хвилі в момент, коли вона досягне дзеркала 2, буде

I₂=I₁₀exp[(G- G_n)α]. (1.31)

Нехай коефіцієнт відображення дзеркала 2 дорівнює r₂^отр. Тоді від нього відіб'ється і знову піде через активне середовище хвиля інтенсивності I₂₀ = I₂ r₂^отр = r₂^отр I₁₀exp [[G-G_n)α]. Тут використана формула (1.31). Під час руху хвилі через активне середовище її інтенсивність знову почне зростати відповідно до формули (1.30) і після досягнення дзеркала 1 буде дорівнювати I_i=I_2oexp[(G— G_n)α]. Підставляючи сюди вираз для I₂₀, отримуємо остаточно

I₁=r₂^отр I₁₀exp[2(G-G_n)α]. (1.31а)

Якщо коефіцієнт відображення дзеркала 1 дорівнює r₁^от, то від нього відіб'ється хвиля інтенсивності І₁r₁^отр, то буде початкова інтенсивність хвилі I₁₀, яка знову рухається до дзеркала 2. Очевидно,

. (1.32)

Очевидно також, що хвиля буде самопідтримуваною, якщо виконано умову I’₁₀=I₁₀. Використовуючи тоді вираз (1.32) і скорочуючи ліву та праву частини рівності на I₁₀, отримуємо

. (1.33)

Перепишемо вираз (1.33) в іншому вигляді. Розділемо праву і ліву частини цієї рівності на твір і зробимо з них квадратний корінь. Тоді вираз (1 33) можна записати у вигляді

Логарифмуючи його, отримаємо

або

(1.34)

Ця умова самозбудження квантового генератора. Генератор самозбудиться, якщо коефіцієнт квантового посилення його активного середовища більше або дорівнює пороговому коефіцієнту посилення G_пор, що визначається рівністю (1.34). Якщо сформулювати словесно, то пороговий коефіцієнт підсилення дорівнює сумі коефіцієнта втрат власної активної середовища та коефіцієнта [другий член правої частини виразу (1.34)], що визначає втрати на дзеркалах.