Теорема Хита.

Итак, целью нормализации является построение оптимальной полной декомпозиции. При построении этой декомпозиции используются функциональные зависимости, заданные для этого отношения. Однако, до сего момента мы не говорили о том, как ФЗ влияют на построение декомпозиций. Связь между функциональной зависимостью атрибутов отношения и его полной декомпозицией устанавливает теорема Хита (Heath T.). Для формулировки и доказательства этой теоремы введем в рассмотрение отношение , в котором выделим три атрибута (простых или составных) : А, В и С.

При наличии функциональной зависимости С от В набор проекций (А,В) и (В,С) образует полную декомпозицию исходного отношения.

Или, если В ->C, то  = proj A,B () join proj B,C ()

Доказательство. Возможные значения А,В и С будем обозначать соответственно a и a’, b и b’, c и c’. Каждая из указанных величин может фактически представлять собой как простой атрибут, так и совокупность нескольких атрибутов. Введем в рассмотрение вспомогательное отношение _ :

_= proj A,B () join proj B,C ()

Докажем тождество  и _. Возьмем произвольный кортеж abc, принадлежащий Очевидно, что ab принадлежит proj A,B (), а bс принадлежит proj B,C (). Исходя из определения отношения _ и свойств операции соединения, можно заключить, что кортеж abc входит в _. Так как речь идет о произвольном кортеже, то можно утверждать, что каждый кортеж  одновременно принадлежит и _.

Теперь рассмотрим произвольный кортеж a’b’c’, принадлежащий _. Согласно определению _, выполняется равенство :

proj A,B (_) = proj A,B ()

Отсюда можно сделать вывод, что в  присутствует кортеж a’b’c. Аналогичным образом равенство

proj B,C (_) = proj B,C ()

позволяет утверждать, что  содержит кортеж ab’c’. Поскольку B -> C, а в кортежи a’b’c и ab’c’ входит одно и то же значение b’, постольку c= c’ и a’b’c = a’b’c’. Последнее означает, что каждый кортеж _ присутствует в . Учитывая, что выполняется и обратное, можно утверждать, что эти два отношения тождественны, что и требовалось доказать.

Лекция 4. Пятая нф. Универсальное отношение. I и II нф.

Уже было сказано, что процесс построения модели данных можно считать законченным, когда все отношения, входящие в полную декомпозицию, находятся в VНФ. Приведем определение этой нормальной формы.

Отношение находится в пятой нормальной форме, если не существует ни одной его полной декомпозиции, в которую входили бы проекции, не имеющие общего ключа – кандидата.

Можно сформулировать это условие еще строже:

Отношение представлено в пятой нормальной форме, когда в каждой его полной декомпозиции все проекции содержат общий ключ – кандидат.

Считается, что отношение, не имеющее ни одной полной декомпозиции, также находится в пятой нормальной форме.

Иными словами, замена отношения в VНФ любой его декомпозицией не дает никаких преимуществ в смысле устранения избыточности данных и устранения аномалий обработки. Точнее, отношение в пятой нормальной форме свободно от этих проблем. По определению VНФ, ее построением заканчивается процесс построения концептуальной модели данных.

Обозначив конечную цель проектирования, рассмотрим способы ее достижения.