Лекція 2. Методи розрахунку лінійних електричних кіл (ЛЕК) постійного струму при наявності двох і більше джерел живлення.

(Л.1, с. 18 – 21; Л.2. с. 11 – 19)

1. Метод вузлових і контурних рівнянь та метод контурних струмів.

1.1. Метод вузлових і контурних рівнянь полягає в складанні на основі законів Кірхгофа системи вузлових і контурних рівнянь, що містять невідомі величини струмів, які протікають у вітках кола, та розв’язання цієї системи рівнянь шляхом підстановок або за допомогою матриць та формул Крамера.

Цей метод розрахунку, як і наступні методи, застосовуються при розрахунку електричних кіл, що мають два і більше джерел електроенергії, на відміну від розглянутих раніше методів розрахунку електричних кіл з одним джерелом живлення. При цьому розрахунок виконується на основі загального порядку розрахунку, починаючи з побудови розрахункової схеми заміщення та її структурного аналізу.

1.1.1.. Складання системи рівнянь.

Вузлові рівняння складаються згідно першому закону Кірхгофа в кількість на одиницю менше кількості вузлів схеми. Розглянемо типову схему заміщення з двома джерелами ЕРС (рис.1).

Рис. 1. Схема заміщення кола з двома джерелами живлення .

Очевидно, для цієї схеми необхідно скласти одне вузлове рівняння, яке згідно прийнятих напрямків струмів має вигляд:

(1.1)

Слід відмітити, що напрямки струмів, що вибираються довільно при структурному аналізі, можуть бути вибрані для деяких струмів неправильно, тоді при розрахунку буде отримано для тих струмів негативне значення, що буде вказувати на те, що ці струми в дійсності мають протилежний напрямок.

Контурні рівняння складаються згідно другому закону Кірхгофа для найбільш простих контурів в кількості, що дорівнює кількості невідомих струмів мінус число вузлових рівнянь. Для приведеної типової схеми, де кількість невідомих струмів рівна 3 та складено одне вузлове рівняння, кількість контурних рівнянь, очевидно, дорівнює двом .

Для наведеної типової розрахункової схеми контурні рівняння складаються для 2 суміжних контурів I і II при обході контурів за вказаними на схемі напрямками:

для I контура: (1.2)

для II контура: (1.3)

Система складених вище вузлових та контурних рівнянь являє собою систему трьох рівнянь першої степені з трьома невідомими струмами І_1, І₂, І₃ та має вигляд:

(1.4)

Цю систему рівнянь можна записати у матричному вигляді:

(1.5)

1.1.2.Розв’язання системи вузлових і контурних рівнянь.

Розв’язання системи вузлових і контурних рівнянь здійснюється шляхом підстановок, або матричним способом. Розглянемо порядок розв’язання цієї системи рівнянь (1.4) шляхом підстановок та застосування законів Ома і Кірхгофа на прикладі типової схеми (рис. 1).

1) Із рівняння (1.1) визначимо струм: І₃=І₁+І₂;

2) Складемо рівняння (1.2) та (1.3) та підставимо І₃=І₁+І₂ в (1.6):

+ (1.6)

Тоді отримаємо: або

звідси: (1.7)

3) Підставляючи (1.7) в (1.2), отримаємо

звідси: . (1.8)

4) Підставляючи (1.7) в (1.3), отримаємо: ,

звідси: . (1.9).

. Розв’язання системи вузлових і контурних рівнянь матричним способом за формулами Крамера:

1. Визначаємо визначник матриці (1.5):

(1.10)

2. визначаємо часткові визначники (алгебраїчні доповнення):

а) (1.11)

б) (1.12)

в) (1.13)

3. Визначимо значення величин струмів:

(1.14)

1.2. Метод контурних струмів полягає в складанні за другим законом Кірхгофа контурних рівнянь в суміжних контурах, де в спільній вітці протікають та складаються струми від декількох джерел, з якими з’єднана ця вітка, що дає можливість виключити вузлові рівняння.

Цей метод фактично є частковим варіантом попереднього методу, де також складається система тільки контурних рівнянь. Він також застосовується при наявності декількох джерел живлення. Розглянемо особливості його використання на прикладі типової розрахункової схеми (рис.1).