10. Определить является ли (g,*)

• группоидом

• полугруппой

• группой

• кольцом

• полем

G= {0,1,2}

* = +mod 3

* = *mod 3

Рассмотрим операцию * = +mod 3

• Бинарная операция, так как остаток от деления на 3 может быть равен 0,1,2 следовательно, лежит в множестве G= {0,1,2}

Следовательно, (G,*) - группоид.

• Проверим ассоциативна ли операция * = +mod 3

Для этого проверим выполняется ли свойство:

(a*b)*c = a*(b*c)

a= 0

b= 1

c= 2

Следовательно, ((0+1) mod 3+2) mod 3 = 0

(0+(1+2) mod 3) mod 3 = 0

Делаем вывод: операция * = +mod 3 – ассоциативна.

Следовательно, (G,*) - полугруппа.

Группа – полугруппа с 2-мя свойствами:

1. Существует нейтральный элемент

2. Каждый элемент обратим

• Нейтральный элемент – 0

*	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

• Обратимые элементы: 0 → 0

1 → 2

2 → 1

Можно сделать вывод, что множество G и операция * = +mod 3 – группа.

Рассмотрим операцию * = *mod 3

• Бинарная операция, так как остаток от деления на 3 может быть равен 0,1,2 следовательно, лежит в множестве G= {0,1,2}

Следовательно, (G,*) - группоид.

• Проверим ассоциативна ли операция * = *mod 3

Для этого проверим выполняется ли свойство:

(a*b)*c = a*(b*c)

a= 0

b= 1

c= 2

Следовательно, ((0*1) mod 3 *2) mod 3= 2

(0*(1*2) mod 3) mod 3= 2

Делаем вывод: операция * = *mod 3 – ассоциативна.

Следовательно, (G,*) - полугруппа.

Группа – полугруппа с 2-мя свойствами:

1. Существует нейтральный элемент

2. Каждый элемент обратим

• Нейтральный элемент – 1

*	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

• Обратимые элементы: 0 → необратим

1 → 1

2 → 2

Можно сделать вывод, что

множество G и операция * = *mod 3 – группа, так как все элементы обратимы.

Проверим будет ли кольцом

• (G, * = +mod 3) – группа

• (G, * = *mod 3) – полугруппа

• G= {0,1,2}

Проверим дистрибутивность

a *(b+c) = a*b + a*c

(1*(2+0) mod 3) mod 3 = ((1*2) mod 3 +(1*0) mod 3) mod 3

2=2

Можно сделать вывод, что (G, * = +mod 3, * = *mod 3) – кольцо

Проверим будет ли полем

(G, +, *) – поле, если

1. - коммутативно

2. все ненулевые элементы имеют обратимые относительно *

1. Коммутативность: (a * b) mod 3 = (b * a) mod 3

(2 * 1) mod 3 = (1 * 2) mod 3

2 = 2 верно

2. Обратимые элементы: 1 → 1

2 → 2

Можно сделать вывод, что (G, +, *) – поле

11. Известно, что

А	Б	В	Г	Д	Е	Ё	Ж	З	И	Й	К	Л	М	Н	О	П
21	29	15	1	30	20	25	10	32	17	22	2	3	26	11	4	5

Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ь	Ы	Ъ	Э	Ю	Я
6	16	7	27	19	12	31	13	28	9	33	23	14	18	24	8

Г	И	К	Л	О	П	Р	Т	Я
1	2	3	4	5	6	7	8	9
M1	M2	M3	M4	M5	M6	M7	M8	M9

К_ш = 7 p = 3 q = 11

• Зашифровать слово КРИПТОЛОГИЯ

• Доказать, что для данных значений p и q можем взять К_ш = 7.

• Найти К_р

p = 3

q = 11

N = p*q = 3*11 = 33

φ(N) = (p-1)*(q-1) = 2*10 = 20

1< К_ш ≤ φ(N)

1< К_ш ≤ 20

Выберем К_ш = 7

Зашифруем каждый символ:

Г = mod N = 1⁷ mod 33 = 1

К = mod N = 2⁷ mod 33 = 29

И = mod N = 3⁷ mod 33 = 9

Л = mod N = 4⁷ mod 33 = 16

О = mod N = 5⁷ mod 33 = 14

П = mod N = 6⁷ mod 33 = 30

Р = mod N = 7⁷ mod 33 = 28

Т = mod N = 8⁷ mod 33 = 2

Я = mod N = 9⁷ mod 33 = 15

В результате получим:

Г	И	К	Л	О	П	Р	Т	Я
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	29	9	16	14	30	28	2	15
Г	Б	Щ	С	Ъ	Д	Ш	К	В

КРИПТОЛОГИЯ = ЩШБДКЪСЪГБВ

К_р = modφ(N) = 1/7 mod 20 = 3

12. Известно, что

А	Б	В	Г	Д	Е	Ё	Ж	З	И	Й	К	Л	М	Н	О	П
21	29	15	1	30	20	25	10	32	17	22	2	3	26	11	4	5

Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ь	Ы	Ъ	Э	Ю	Я
6	16	7	27	19	12	31	13	28	9	33	23	14	18	24	8

• Расшифровать слово ЩШБДКЪСЪГБВ

К_р = 3 p = 3 q = 11

Г	Б	Щ	С	Ъ	Д	Ш	К	В
1	29	9	16	14	30	28	2	15
С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7	С8	С9

Г = mod N = 1³ mod 33 = 1

Б = mod N = 29³ mod 33 = 2

Щ = mod N = 9³ mod 33 = 3

С = mod N = 16³ mod 33 = 4

Ъ = mod N = 14³ mod 33 = 5

Д = mod N = 30³ mod 33 = 6

Ш = mod N = 28³ mod 33 = 7

К = mod N = 2³ mod 33 = 8

В = mod N = 15³ mod 33 = 9

ЩШБДКЪСЪГБВ = КРИПТОЛОГИЯ

13. Известно, что

А	Б	В	Г	Д	Е	Ё	Ж	З	И	Й	К	Л	М	Н	О	П
21	29	15	6	30	20	25	10	32	4	22	17	16	26	11	2	8

Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ь	Ы	Ъ	Э	Ю	Я
1	3	7	27	19	12	31	13	28	9	33	23	14	18	24	5

• Зашифровать слово РОССИЯ

• Доказать, что для данных значений p и q можем взять К_ш = 2.

Р	О	С	И	Я
1	2	3	4	5
M1	M2	M3	M5	M6

К_ш = 2 p = 3 q = 5

p = 3

q = 5

N = p*q = 3*5 = 15

φ(N) = (p-1)*(q-1) = 2*4 = 8

1< К_ш ≤ φ(N)

1< К_ш ≤ 8

Выберем К_ш = 2

Зашифруем каждый символ:

Р = mod N = 1² mod 15 = 1

О = mod N = 2² mod 15 = 4

С = mod N = 3² mod 15 = 9

И = mod N = 4² mod 15 = 1

Я = mod N = 5² mod 15 = 10

Р	О	С	И	Я
1	2	3	4	5
1	4	9	1	10
Р	И	Щ	Р	Ж

РОССИЯ = РИЩЩРЖ

14. Известно, что

А	Б	В	Г	Д	Е	Ё	Ж	З	И	Й	К	Л	М	Н	О	П
21	29	15	1	30	7	25	10	32	17	22	2	3	26	11	4	5

Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ь	Ы	Ъ	Э	Ю	Я
6	16	20	27	19	12	31	13	28	9	33	23	14	18	24	8

• Расшифровать слово ЪСЩШ

• Найти К_ш

К_р = 3 p = 3 q = 11

Ъ	С	Щ	Ш
14	16	9	28
С1	С2	С3	С4

Ъ = mod N = 14³ mod 33 = 5

С = mod N = 16³ mod 33 = 4

Щ = mod N = 9³ mod 33 = 3

Ш = mod N = 28³ mod 33 = 7

Ъ	С	Щ	Ш
14	16	9	28
5	4	3	7
П	О	Л	Е

ЪСЩШ = ПОЛЕ

К_ш = modφ(N) = 1/3 mod 20 = 7

15. A = {1, 3, 4, 7}

B = {2, 4, 6}

C = {5, 7}

• Найти AUB, A∩C, A\C, A∩B∩C, C\B, B×C, C×A

A U B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}

A ∩ C = {7}

A \ C = {1, 3, 4}

A ∩ B ∩ C = Ø

C \ B = {5, 7}

B × C = {(2,5), (2,7), (4,5), (4,7), (6,5), (6,7)}

C × A = {(5,1), (5,3), (5,4), (5,7), (7,1), (7,3), (7,4)}