1. Существует нейтральный элемент

2. Каждый элемент обратим

• Нейтральный элемент – 1

*	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

• Обратимые элементы: 0 → необратим

1 → 1

2 → необратим

3 → необратим

4 → необратим

5 → 5

Можно сделать вывод, что

множество G и операция * = *mod 6 – полугруппа, так как не все элементы обратимы.

Проверим будет ли кольцом

• (G, * = +mod 6) – группа

• (G, * = *mod 6) – полугруппа

• G= {0,1,2,3,4,5}

Проверим дистрибутивность

a *(b+c) = a*b + a*c

(1*(2+3) mod 6) mod 6 = ((1*2) mod 6+(1*3) mod 6) mod 6

5=5

(3*(2+2) mod 6) mod 6 = ((3*2) mod 6+(3*2) mod 6) mod 6

0=0

Можно сделать вывод, что (G, * = +mod 6, * = *mod 6) – кольцо

8. Зашифровать открытый текст. Блочный шифр. Идея Фейстеля.

К₁ = 01 К₂ = 10

Открытый текст
00 00	10 00
00 01	10 01
00 10	10 10
00 11	10 11
01 00	11 00
01 01	11 01
01 10	11 10
01 11	11 11

К₁ = 01 К₂ = 10

L₀ = 00 R₀ =00

L₁ = R₀ = 00 R₁ = L₀ f (R₀, К₁) = 01

L₂ = R₁ = 01 R₂ = L₁ f (R₁, К₂) = 11

L₀ = 11 R₀ =00

L₁ = R₀ = 00 R₁ = L₀ f (R₀, К₁) = 10

L₂ = R₁ = 10 R₂ = L₁ f (R₁, К₂) = 00

L₀ = 11 R₀ =11

L₁ = R₀ = 11 R₁ = L₀ f (R₀, К₁) = 01

L₂ = R₁ = 01 R₂ = L₁ f (R₁, К₂) = 00

Остальные значения рассчитываются аналогично.

В результате получим:

Открытый текст	Закрытый текст
00 00	01 11
00 01	00 11
00 10	11 11
00 11	10 11
01 00	00 10
01 01	01 10
01 10	10 10
01 11	11 10
10 00	11 01
10 01	10 01
10 10	01 01
10 11	00 01
11 00	10 00
11 01	11 00
11 10	00 00
11 11	01 00

	a	b	c	d
1	y3	y2	y1	y2
2	y1	y3	y3	y1
3	y2	y1	y2	y3

P(X) = (P(1) = 0,5 P(2) = 0,2 P(3) = 0,3)

P(K) = (P(a) = 0,1 P(b) = 0,7 P(c) = 0,1 P(d) = 0,1)

P(Y) = (P(y₁)) (P(y₂)) (P(y₃))

• Найти вероятности.

P(y) = ∑ (P(x, æ)) =∑ P(x)*P(æ)

P(y₁) = ∑_{(2,a)(3,b)(1,c)(2,d)} P(2)*P(a) + P(3)*P(b) + P(1)*P(c) + P(2)*P(d) = 0,2*0,1 + 0,3*0,7 + 0,5*0,1 + 0,2*0,1 = 0,02 + 0,21 + 0,05 + 0,02 = 0,3

P(y₂) = 0,46

P(y₃) = 0,23

P(y/x) = ∑_æ:f(x,æ)=y p(æ)

P(y₁/1) = P(c) = 0,1

P(y₂/1) = P(b) + P(d) = 0,7 + 0,1 = 0,8

P(y₃/1) = P(a) = 0,1

P(y₁/2) = P(a) + P(d) = 0,2

P(y₂/2) = 0

P(y₃/2) = P(b) + P(c) = 0,8

P(y₁/3) = P(b) = 0,7

P(y₂/3) = P(a) + P(c) = 0,2

P(y₃/3) = P(d) = 0,1

P(x/y) = P(x,y)/P(y) = P(y/x)*P(x)/P(y)

P(y₁/1)*P(1)/P(y₁) = 0,1*0,5/0,3 = 0,167

P(y₁/2)*P(2)/P(y₁) = 0,2*0,2/0,3 = 0,133

P(y₁/3)*P(3)/P(y₁) = 0,7*0,3/0,3 = 0,700

P(y₂/1)*P(1)/P(y₂) = 0,8*0,5/0,46 = 0,870

P(y₂/2)*P(2)/P(y₂) = 0

P(y₂/3)*P(3)/P(y₂) = 0,2*0,3/0,46 = 0,130

P(y₃/1)*P(1)/P(y₃) = 0,1*0,5/0,24 = 0,208

P(y₃/2)*P(2)/P(y₃) = 0,8*0,2/0,24 = 0,667

P(y₃/3)*P(3)/P(y₃) = 0,1*0,3/0,24 = 0,125