1. Существует нейтральный элемент

2. Каждый элемент обратим

• Нейтральный элемент – 1

*	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

• Обратимые элементы: 0 → необратим

1 → 1

2 → 3

3 → 2

4 → 1

Можно сделать вывод, что

множество G и операция * = *mod 5 – полугруппа, так как не все элементы обратимы.

Проверим будет ли кольцом

1. (G, * = +mod 5) – группа

2. (G, * = *mod 5) – полугруппа

3. Проверим дистрибутивность

a *(b+c) = a*b + a*c

(1*(2+3) mod 5) mod 5 = ((1*2) mod 5+(1*3) mod 5) mod 5

0=0

(3*(2+2) mod 5) mod 5 = ((3*2) mod5 +(3*2) mod5) mod5

2=2

Можно сделать вывод, что (G, * = +mod 5, * = *mod 5) – кольцо

7. G= {0,1,2,3,4,5}

* = +mod 6

* = *mod 6

• Проверить является ли кольцом.

Рассмотрим операцию * = +mod 6

• Бинарная операция, так как остаток от деления на 6 может быть равен 0,1,2,3,4,5, следовательно, лежит в множестве G= {0,1,2,3,4,5}

Следовательно, (G,*) - группоид.

• Проверим ассоциативна ли операция * = +mod 6

Для этого проверим выполняется ли свойство:

(a*b)*c = a*(b*c)

a= 0

b= 1

c= 2

Следовательно, ((0+1) mod 6 +2) mod 6= 3

(0+(1+2) mod 6) mod 6= 3

a= 4

b= 3

c= 2

Следовательно, ((4+3)mod 6 +2) mod 6= 3

(4+(3+2) mod6) mod 6= 3

Делаем вывод: операция * = +mod 6 – ассоциативна.

Следовательно, (G,*) - полугруппа.

Группа – полугруппа с 2-мя свойствами:

1. Существует нейтральный элемент

2. Каждый элемент обратим

• Нейтральный элемент – 0

*	0	1	2	3	4	6
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

• Обратимые элементы: 0 → 1

1 → 5

2 → 4

3 → 3

4 → 2

5 → 1

Можно сделать вывод, что множество G и операция * = +mod 6 – группа.

Рассмотрим операцию * = *mod 6

• Бинарная операция, так как остаток от деления на 6 может быть равен 0,1,2,3,4,5, следовательно, лежит в множестве G= {0,1,2,3,4,5}

Следовательно, (G,*) - группоид.

• Проверим ассоциативна ли операция * = *mod 6

Для этого проверим выполняется ли свойство:

(a*b)*c = a*(b*c)

a= 0

b= 1

c= 2

Следовательно, ((0*1) mod 6 *2) mod 6= 0

(0*(1*2) mod 6) mod 6= 0

a= 1

b= 3

c= 2

Следовательно, ((1*3) mod 6*2) mod 6= 0

(1*(3*2) mod 6) mod 6= 0

Делаем вывод: операция * = *mod 6 – ассоциативна.

Следовательно, (G,*) - полугруппа.

Группа – полугруппа с 2-мя свойствами: