Найти все отображения множества М= {1,2,3}.
Все подмножества множества {1,2,3}:
Ø
{1}
{2}
{3}
{1,2}
{2,3}
{1,3}
{1,2,3}
Число всех подмножеств множества = 2 |М |
Число элементов множества М равно 3, следовательно, число всех подмножеств множества М равно 23 = 8
Найти П1*П2 , П1*П2,
,
Единичная подстановка
Так как есть нулевой элемент и обратный элемент, следовательно, группа.
Определить является ли (G,*)
группоидом
полугруппой
группой
найти единичный и обратимые элементы
G= {0,1,2,3}
* = +mod 4
Бинарная операция, так как остаток от деления на 4 может быть равен 0,1,2,3, следовательно, лежит в множестве G
Следовательно, (G,*) - группоид.
Проверим ассоциативна ли операция * = +mod 4
Для этого проверим выполняется ли свойство:
(a*b)*c = a*(b*c)
a= 0
b= 1
c= 2
Следовательно, ((0+1) mod 4 +2) mod 4= 3
(0+(1+2) mod 4) mod 4= 3
a= 1
b= 3
c= 2
Следовательно, ((1+3) mod 4 +2) mod 4= 2
(1+(3+2) mod 4) mod 4= 2
Делаем вывод: операция * = +mod 4 – ассоциативна.
Следовательно, (G,*) - полугруппа.
Группа – полугруппа с 2-мя свойствами:
существует нейтральный элемент
Каждый элемент обратим
Нейтральный элемент – 0
* |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
3 |
0 |
2 |
2 |
3 |
0 |
1 |
3 |
3 |
0 |
1 |
2 |
Обратимые элементы: 0 → 0
1 → 3
2 → 2
3 → 1
Можно сделать вывод, что множество G и операция * = +mod 4 – группа.
Определить является ли (g,*)
группоидом
полугруппой
группой
найти единичный и обратимые элементы
G= {0,1,2,3}
* = *mod 4
Бинарная операция, так как остаток от деления на 4 может быть равен 0,1,2,3, следовательно, лежит в множестве G
Следовательно, (G,*) - группоид.
Проверим ассоциативна ли операция * = *mod 4
Для этого проверим выполняется ли свойство:
(a*b)*c = a*(b*c)
a= 0
b= 1
c= 2
Следовательно, ((0*1) mod 4 *2) mod 4= 0
(0*(1*2) mod 4) mod 4= 0
a= 1
b= 3
c= 2
Следовательно, ((1*3) mod 4*2) mod 4= 2
(1*(3*2) mod 4) mod 4= 2
Делаем вывод: операция * = *mod 4 – ассоциативна.
Следовательно, (G,*) - полугруппа.
Группа – полугруппа с 2-мя свойствами:
Существует нейтральный элемент
Каждый элемент обратим
Нейтральный элемент – 1
* |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
3 |
0 |
3 |
2 |
1 |
Обратимые элементы: 0 → необратим
1 → 1
2 → необратим
3 → 3
Можно сделать вывод, что
множество G и операция * = *mod 4 – полугруппа, так как не все элементы обратимы.
G= {0,1,2,3}
* = +mod 4
* = *mod 4
Проверить будет ли кольцом (G,*)
(G, * = +mod 4) – группа
(G, * = *mod 4) – полугруппа
G= {0,1,2,3}
Проверим дистрибутивность
a *(b+c) = a*b + a*c
(1*(2+3) mod 4) mod 4 = 1*2+1*3 (3*(0+2) mod 4) mod 4 = 3*0 +3*2
5=5 6=6
Можно сделать вывод, что (G, * = +mod 4, * = *mod 4) – кольцо
Определить является ли (g,*)
группоидом
полугруппой
группой
найти единичные и обратимые элементы
проверить является ли кольцом
G= {0,1,2,3,4}
* = +mod 5
* = *mod 5
Рассмотрим операцию * = +mod 5
Бинарная операция, так как остаток от деления на 5 может быть равен 0,1,2,3,4, следовательно, лежит в множестве G= {0,1,2,3,4}
Следовательно, (G,*) - группоид.
Проверим ассоциативна ли операция * = +mod 5
Для этого проверим выполняется ли свойство:
(a*b)*c = a*(b*c)
a= 0
b= 1
c= 2
Следовательно, ((0+1) mod 5 +2) mod 5= 3
(0+(1+2) mod 5) mod 5= 3
a= 1
b= 3
c= 2
Следовательно, ((1+3) mod 5 +2) mod 5= 0
(1+(3+2) mod 5) mod 5= 0
Делаем вывод: операция * = +mod 5 – ассоциативна.
Следовательно, (G,*) - полугруппа.
Группа – полугруппа с 2-мя свойствами:
Существует нейтральный элемент
Каждый элемент обратим
Нейтральный элемент – 0
* |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
2 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
3 |
3 |
4 |
0 |
1 |
2 |
4 |
4 |
0 |
1 |
2 |
3 |
Обратимые элементы: 0 → 0
1 → 4
2 → 3
3 → 2
4 → 1
Можно сделать вывод, что множество G и операция * = +mod 5 – группа.
Рассмотрим операцию * = *mod 5
Бинарная операция, так как остаток от деления на 5 может быть равен 0,1,2,3,4, следовательно, лежит в множестве G= {0,1,2,3,4}
Следовательно, (G,*) - группоид.
Проверим ассоциативна ли операция * = *mod 5
Для этого проверим выполняется ли свойство:
(a*b)*c = a*(b*c)
a= 0
b= 1
c= 2
Следовательно, ((0*1) mod 5 *2) mod 5= 0
(0*(1*2) mod 5) mod 5= 0
a= 1
b= 3
c= 2
Следовательно, ((1*3) mod 5*2) mod 5= 1
(1*(3*2) mod 5) mod 5= 1
Делаем вывод: операция * = *mod 5 – ассоциативна.
Следовательно, (G,*) - полугруппа.
Группа – полугруппа с 2-мя свойствами: