Решение
Точное решение данной задачи практически невозможно, расчет обычно выполняют численно с помощью ЭВМ. Однако решение задачи весьма сильно упрощается, если принять следующие допущения.
Поле индуктора считаем квазистационарным, т.е. пренебрегаем токами смещения в воздухе, которые малы по сравнению с токами в массивном теле.
В промежутке между индуктором и телом магнитное поле считаем однородным, а магнитодвижущую силу (МДС) индуктора полагаем сосредоточенной на этом промежутке. При таком допущении напряженность магнитного поля в воздушном промежутке
и имеет только осевую составляющую. С достаточной для практики точностью это выполняется, если длина индуктора и тела существенно больше поперечных размеров, т.е. их диаметров.
В условиях сильно выраженного поверхностного эффекта, как известно, напряженность магнитного поля на поверхности тела равна линейной плотности (настилу) тока:
.
Кроме того, известно [7], что поглощаемую телом активную мощность можно определить, если считать, что весь вихревой ток равномерно распределен в слое, толщина которого равна глубине проникновения:
.
(14.10)
Тогда активная мощность, выделяемая в этом слое:
,
где
– амплитудное значение вихревого тока
в поверхностном слое;
– амплитудное
значение линейной плотности (настила)
вихревого тока;
– сопротивление
поверхностного слоя.
Следовательно,
.
(14.11)
Пусть
А,
мм,
мм,
мм,
,
,
мм.
Тогда
Ом,
Вт.
Согласно (14.2) для данного материала тела глубина проникновения будет равна одному миллиметру на частоте
кГц.
Задача 14.3
Медная
шина имеет
Ом-1∙м-1,
.
Определить волновое сопротивление,
глубину проникновения электромагнитной
волны частотой
,
длину и фазовую скорость электромагнитной
волны.
Решение
Волновое сопротивление
Ом.
Длина электромагнитной волны
мм.
Глубина проникновения
мм.
Фазовая скорость
м/с.
Задача 14.4
Пренебрегая сопротивлением проводников коаксиального кабеля (рис. 14.2), найти зависимость мощности, передаваемой внутри цилиндрической поверхности радиусом r, от значения этого радиуса. Здесь U – напряжение между жилой и оболочкой, I – ток в кабеле.
Р ешение
По теореме Гаусса
напряженность электрического поля имеет только радиальную составляющую
,
где τ – заряд на единицу длины.
Учитывая, что напряжение между жилой и оболочкой
,
получаем
.
Вектор напряженности магнитного поля H имеет только азимутальную составляющую
.
Поэтому вектор Пойтинга имеет только продольную составляющую
.
Поскольку
проводимость жилы и оболочки
(пренебрегаем потерями в меди), то
напряженность электрического поля в
жиле и оболочке
.
Поэтому в жиле и оболочке вектор Пойтинга равен нулю, т.е. вся электромагнитная энергия от места ее генерирования до места потребления передается по диэлектрику. Жила и оболочка играют роль каналов, вдоль которых распространяется электромагнитное поле. Покажем это.
Поток
вектора П
через диэлектрик (кольцо с радиусами
и
)
.
Отсюда видно, что вся энергия, передаваемая приемнику в единицу времени, действительно канализируется по диэлектрику.
Если учесть, что величина проводимости γ конечна, то можно убедиться в наличии потока вектора Пойтинга через боковую поверхность провода внутрь провода, т.е. провода сами потребляют из диэлектрика энергию на покрытие тепловых потерь.
Задача 14.5
П
о
двухпроводной линии постоянного тока
передается мощность Р
при напряжении U
и токе I.
Пренебрегая сопротивлением проводов,
радиус которых
(рис. 14.3),
найти зависимость вектора Пойнтинга
от координаты x
вдоль линии, соединяющей оси проводов.
Определить, какую роль выполняют провода
линии.