6.Метод интегрирования по частям

Если подынтегральная функция представляет собой произведение либо тригонометрической функции на алгебраическую, либо показательной на алгебраическую, то за u следует принимать алгебраическую функцию.

Пример типового расчета:

1. 

2. 

Практика : студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта).

Приложение: дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта) .

Контрольные вопросы:

1. Что называется неопределенным интегралом?

2. Что такое интегрирование?

3. Свойства неопределенного интеграла?

4. Основные способы интегрирования?

5. Таблица основных интегралов?

Вариант -1.

1. Для функции y= найдите первообразную, график которой проходит через точку А (-1;0)

2. Найти неопределенный интеграл

3. Найдите неопределенный интеграл, используя способ замены переменной:

Вариант- 2.

1. Для функции y= найдите первообразную, график которой проходит через точку А (-2;0)

2. Найти неопределенный интеграл

3. Найдите неопределенный интеграл, используя способ замены переменной:

Вариант -3.

1. Для функции y= найдите первообразную, график которой проходит через точку А (-2;0)

2. Найти неопределенный интеграл

3. Найдите неопределенный интеграл, используя способ замены переменной:

Вариант -4.

1. Для функции y= найдите первообразную, график которой проходит через точку А (1;1)

2. Найти неопределенный интеграл

3. Найдите неопределенный интеграл, используя способ замены переменной:

Практическая работа №7

Тема: Вычисление определенных интегралов по частям и способом подстановки.

Определенный интеграл, его вычисление и свойства

Определенный интеграл от функции , непрерывной на отрезке , вычисляется по формуле:

(5)

где — первообразная для функции , т. е.

Формула (5) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Свойства определенного интеграла:

6) Если для всех , то

7) Если для всех , то

При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д. Однако есть ряд особенностей. При замене переменной по формуле (1) необходимо в соответствии с заменой менять пределы интегрирования:

(6)

где — обратная к функция.

Формула интегрирования по частям (3) приобретает вид:

(7)

Пример 4. Вычислить определенный интеграл

Решение.

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить определенный интеграл.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа 8

Тема: Вычисление площади плоской фигуры с помощью интеграла.

Цель занятия: закрепить навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера.

Умение и навыки, которые должны приобрести обучаемые на занятии: решать задачи на вычисление работы переменной силы; пути, пройденного телом при неравномерном движении; находить площади фигур с помощью определенного интеграла.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами интегрирования; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями.