1. Гармоническими колебаниями физической величины a называется процесс изменения ее во времени по закону sin или cos.

х - Смещение тела от положения равновесия.

A -  Амплитуда колебаний - максимальное отклонение колеблющейся величины от среднего за период значения.

φ₀ - Начальная фаза - значение фазы φ в момент t = 0.

ωt - Циклическая (круговая) частота колебаний - скорость изменения фазы с течением времени.

ωt+φ₀ - Полная фаза колебаний.

t - Время.

t - Период колебаний - изменения, повторяющиеся через равные промежутки времени. T = 2π/φ₀

v - Частота колебаний - число полных колебаний за единицу времени. v = 1/T

Проекции скорости и ускорения

v = v₀cos(ωt+φ₀) и a_x = -a₀sin(ωt+φ₀)

v₀ = Aω - амплитуда скорости

a₀ = Aω² = v₀ω - амплитуда ускорения

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания равна

П отенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием квазиупругой силы, равна

Колебания потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на π, так что полная механическая энергия материальной точки не изменяется при колебаниях.

Математический маятник - материальная точка, точка подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Математический маятник представляет собой предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс.

Период Циклическая частота

l - длина математического маятника.

g - ускорение свободного падения.

Пружинный маятник - материальная точка массы m, совершающая прямолинейные гармонические колебания под действием упругой силы. Груз массы m, подвешенный на абсолютно упругой пружине.

Циклическая частота Частота колебаний Период

k - жесткость пружины.

m - масса груза.

Физический маятник - твердое тело, имеющее возможность качаться под действием его силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела.

П ериод Циклическая частота

J - момент инерции маятника, относительно оси.

L - приведенная длина физического маятника - условная характеристика физического маятника. Численно равна длине математического маятника, период которого равен периоду данного физического маятника.

Приведенная длина физического маятника

1/m·F_x(t)

Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах.

Различают два предельных случая :

Сложение колебаний одинакового направления

И спользуя метод вращающегося вектора амплитуды, сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

У равнение результирующего колебания имеет вид

Амплитуда результирующего колебания при этом равна

Амплитуда А результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₁ - φ₂) складываемых колебаний.

если (φ₁ - φ₂) = ± 2mπ  (m = 0, 1, 2, 3, ...), то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний

е сли (φ₁ - φ₂) = ± (2m+1)π  (m = 0, 1, 2, 3, ...), то амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний

Начальная фаза результирующего колебания находится по формуле

C ложение взаимноперпендикулярных колебаний

Пусть точка М одновременно колеблется вдоль осей координат ОХ и ОУ по законам

где х и у - декартовы координаты точки М.

Уравнение траектории результирующего движения точки М в плоскости ХОУ можно найти, исключив из выражений для х и у параметр t

Фигуры Лиссажу - замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Вид фигур Лиссажу при различных соотношениях периодов (1:1, 1:2 и т. д.) и разностях фаз.

Фигуры Лиссажу получаются при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний. Они могут быть довольно сложными, особенно при близких частотах продольных и поперечных колебаний.

Вид Лиссажу фигуры зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний.

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат.

Фигуры Лиссажу можно наблюдать на экране осциллографа; они получаются в результате перемещения светящейся точки, если к двум парам отклоняющих пластин подведены переменные напряжения с равными или кратными периодами.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Свободные колебания реальных систем всегда затухают.

Затухание свободных механических колебаний вызывается трением и возбуждением в окружающей среде упругих волн. Затухание в электрических колебательных системах вызывается тепловыми потерями в проводниках, диэлектриках и ферромагнетиках.

Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы.

Свободные затухающие колебания линейной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

s, х, q - изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы.

β - const > 0, коэффициент затухания.

ω₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний.

Свободные затухающие колебания пружинного маятника. На маятник массы m, совершающий прямолинейные колебания вдоль оси ОХ под влиянием силы упругости пружины, действует также сила сопротивления.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний маятника

Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в контуре

В ынужденные механические колебания линейной системы, пружинного маятника. Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее вынужденные механические колебания, называется вынуждающей или возмущающей силой.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний линейной системы, пружинного

маятника

v_x = A_vcos(Ωt+α) Скорость маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях

A_v = AΩ - амплитуда скорости

α = φ₀+π/2 - сдвиг фаз между скоростью и возмущающей силой

a_x = A_acos(Ωt+γ) Ускорение маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях

A_a = AΩ² - амплитуда ускорения

γ = φ₀+π - сдвиг фаз между скоростью и возмущающей силой

Вынужденные электрические колебания. Для осуществления вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре в него нужно включить источник электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени.

Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в контуре

β = R/2L - коэффициент затухания свободных колебаний в контуре

- циклическая частота свободных незатухающих колебаний

Резонанс -  явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Условием резонанса является совпадение частоты вынуждающей силы с частотой, соответствующей максимуму амплитуды вынужденных колебаний.

2 . Волны.

Тело называется упругим, а его деформации, вызываемые внешними воздействиями, называются упругими деформациями, если они полностью исчезают после прекращения этих воздействий.

Газообразное тело и жидкость беспрепятственно изменяют свою форму в соответствии с формой занимаемого их сосуда - они не обладают упругостью формы. В то же время им присуща объемная упругость, т.е. способность сопротивляться изменению их объема.

Твердые тела помимо объемной упругости обладают упругостью формы, которая проявляется в их сопротивлении деформации сдвига.

Упругими, или механическими, волнами называются механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. Тела, которые, воздействуя на среду, вызывают эти возмущения, называются источниками волн.

Звуковыми, или акустическими, волнами называются упругие волны малой интенсивности, т.е. слабые механические возмущения.

Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Продольные волны связаны с объемной деформацией упругой среды и поэтому могут распространяться в любой среде - твердой, жидкой, газообразной. пример - звуковые волны в воздухе.

У пругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Поперечные волны связаны с деформацией сдвига упругой среды и, следовательно, могут образовываться и распространяться только в средах, обладающих упругостью формы, т.е. в твердых телах. пример - волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.

Особое место занимают поверхностные волны - распространяющиеся вдоль свободной поверхности жидкости, возникающие под действием внешних воздействий (падение тел, движение ветра). В образовании этих волн определяющую роль играют силы поверхностного натяжения и тяжести.

Среда называется однородной, если ее физические свойства, существенные в рассматриваемых задачах, не изменяются от точки к точке. Среда, однородная в отношении одних физических свойств, может быть неоднородной в отношении других. Монокристаллическое тело однородно по своим упругим свойствам и в то же время неоднородно для рентгеновских лучей.

Среда называется изотропной, если ее физические свойства одинаковы во всех направлениях. Среда, изотропная в отношении одних физических свойств, может быть анизотропной в отношении других. Кристаллы кубической системы оптически изотропны, а в отношении упругих свойств - анизотропны. Газы и жидкости в отсутствие внешних полей обычно изотропны в отношении любых физических свойств.

Среда называется линейной, если между величинами, характеризующими рассматриваемое внешнее воздействие на среду и вызываемое им изменение состояния среды, существует прямо пропорциональная связь. Диэлектрик является линейной средой по своим электрическим свойствам, если его диэлектрическая проницаемость не зависит от напряженности электрического поля.

Уравнение бегущей волны. Бегущими волнами называются волны, которые, в отличие от стоячих волн переносят энергию в пространстве.

Уравнением упругой волны называется зависимость от координат и времени скалярных и векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении в ней рассматриваемой волны.

Лучом называется линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с направлением распространения волны, т.е. с направлением переноса энергии волны.

Упругая волна называется синусоидальной, или гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Частота этих колебаний называется частотой волны.

Волновой поверхностью, или фронтом волны, называется геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение.

Уравнение плоской волны.

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

s = f(t-x/v) Уравнение плоской волны распространяющейся вдоль положительного направления оси

s = f(t+x/v) Уравнение плоской волны распространяющейся в противоположном направлении

v - скорость волны

Уравнение плоской синусоидальной волны.

s = Asin(ωt-ω/v·x+ φ₀)

A = const - амплитуда волны

ω = 2π/T - циклическая (круговая) частота волны

T - период колебаний

φ₀ - фаза плоской волны

Уравнение сферической волны.

Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер называется центром волны.

s = 1/r·f(t-r/v) Уравнение расходящейся сферической волны

r - расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

v - скорость волны

s = a₀/r·sin(ωt-kr+α) Уравнение синусоидальной сферической волны

А(r) = a₀r - амплитуда волны

a₀ - физическая величина, численно равная амплитуде волны на единичном расстоянии от ее центра

α - начальная фаза колебаний в центре волны

Ф = ωt-kr+α - фаза сферической волны

Длина волны - расстояние, на которое распространяется синусоидальная волна за время, равное периоду колебаний. Длина волны равна расстоянию между двумя ближайшими точками среды, в которых разность фаз колебаний равна 2π.

Наряду с длиной волны используется другая характеристика синусоидальной волны - волновое число.

k = 2π/λ = 2π/vT = ω/v Волновое число

Волновым вектором называется вектор, по модулю равный волновому числу и направленный вдоль луча в рассматриваемой точке среды.

s = Asin[ωt-kr+α] Волновой вектор

r - радиус-вектор точки

α - начальная фаза колебаний в начале координат

Д ве волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени. Источники когерентных волн называются когерентными источниками.

Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других. Интерферировать могут только когерентные волны, которым соответствуют колебания, совершающиеся вдоль одного и того же или близких направлений.

Если разность хода волн равна целому числу волн (т. е. четному числу полуволн), то в точке наложения этих волн образуется интерференционный максимум.

Интерференционный максимум

Если разность хода волн равна нечетному числу полуволн, то в точке наложения этих волн образуется интерференционный минимум.

Интерференционный минимум

Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны. Стоячей волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн еще и одинаковую поляризацию.

Алплитуда стоячей волны в отличие от амплитуды бегущей волны является периодической функцией координаты х.

A_ст = 2Acos(kx+ α/2)

Точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю, называются узлами, а точки, в которых амплитуда максимальна - пучностями стоячей волны.

Kx+ α/2 = (2m+1)·π/2 узлы

K x+ α/2 = mπ пучности

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины λ бегущих волн.

3. Молекулярная физика изучает зависимости строения и физических свойств тел от характера движения и взаимодействия между частицами, из которых состоят тела

.

Основывается на молекулярно-кинетической теории : все тела состоят из мельчайших частиц - атомов, молекул или ионов, - находящихся в непрерывном хаотическом движении, которое называется тепловым движением.

Тепловое движение частиц вещества в различных агрегатных состояниях неодинаково. Оно зависит от сил притяжения и отталкивания, действующих между атомами, молекулами и ионами.

Силы притяжения между атомами и молекулами достаточно разреженных газов практически отсутствуют.

Твердые, кристаллические тела характеризуются значительными силами взаимодействия между частицами твердых тел.

Тепловое движение молекул жидкости имеет промежуточный характер между двумя предыдущими.

Идеальным газом называется газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом на расстоянии и имеют исчезающие малые собственные размеры.

Основные признаки модели идеального газа:

- расстояния между молекулами велики по сравнению с их размерами.

- взаимодействие между молекулами на расстоянии отсутствует.

- при столкновениях молекул действуют большие силы отталкивания.

- время столкновения много меньше времени свободного движения между столкновениями.

основное уравнение МКТ идеального газа

Т акже его можно записать как

p - давление

n - концентрация газа

v - средняя скорость молекул

T - абсолютная температура газа (t^o + 273)

E_к - средняя кинетическая энергия молекул газа

k = 1,38 * 10^-23 постоянная Больцмана

Абсолютная температура - это безусловная мера температуры и одна из главных характеристик термодинамики. Понятие абсолютной температуры было введено У. Томсоном.

Термодинамическая температура - физическая величина, характеризующая интенсивность хаотического, теплового движения всей совокупности частиц системы и пропорциональная средней кинетической энергии поступательного движения одной частицы.

Абсолютная шкала температуры называется так, потому что мерой основного состояния нижнего предела температуры является абсолютный ноль - наиболее низкая возможная температура, при которой ничего не может быть холоднее и теоретически невозможно извлечь из вещества тепловую энергию. Абсолютный ноль определен как 0 K. Что приблизительно равно −273.15 °C.

E_k = ¹/₂m ^. v ² Связь между кинетической энергией, массой и скоростью

Таким образом, частицы одинаковой массы и имеющие одинаковую скорость имеют и одинаковую температуру. 

Энергия движения молекул идеального газа.

Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа

m₀ - масса молекулы

v - средняя скорость движения молекул

Число степеней свободы - количество независимых величин, е помощью которых может быть задано положение системы. Одноатомный газ имеет три поступательные степени свободы і = 3, так как для описания положения такого газа в пространстве достаточно трёх координат (х, у, z).

Жесткой связью называется связь, при которой расстояние между атомами не изменяется.

Поступательные степени свободы связаны с движением молекулы как целого в пространстве, вращательные - с поворотом молекулы как целого.

Молекулы, которые состоят из обычного атома, считаются материальными точками и имеют три степени свободы (аргон, гелий).

Двухатомные жесткие молекулы, например молекулы водорода, азота и др., обладают пятью степенями свободы: они имеют 3 степени свободы поступательного движения (по осям x, y, z) и 2 степени свободы вращения вокруг осей ОХ и OZ. Вращением вокруг оси OY можно пренебречь, т.к. момент инерции ее относительно этой оси пренебрежимо мал.

Молекулы, состоящие из трех и более жестко связанных атомов, не лежащих на одной прямой, имеют число степеней свободы i = 6.

Если связь между атомами не жесткая, то добавляются колебательные степени свободы. 

Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы : статистически в среднем на каждую степень свободы молекул приходится одинаковая энергия. Поступательное движение молекул характеризуется средней кинетической энергией, равной (1).

Так как поступательному движению соответствует 3 степени свободы, то в среднем на одну степень свободы движения молекул приходится энергия равная (2)

В однородном газе, молекулы которого имеют любое число степеней свободы i, каждая молекула в среднем обладает энергией движения, равной (3)

(1) (2) (3) Средняя кинетическая энергия

У равнение Менделеева-Клапейрона, уравнение состояния идеального газа, устанавливающее связь между его объемом V, давлением р и абс. температурой Т.

Уравнение Менделеева-Клайперона

p - давление газа

V - объем газа

m - масса газа

T - температура газа

M - молярная масса

ν - количество вещества

R = 8,31 - газовая постоянная

Уравнение приближенно выполняется для реальных газов при достаточно низких давлениях; с повышением температуры область давлений, при которых состояние реального газа можно описывать уравнением, расширяется.

Для молекулярных газов (напр., атм. воздуха) при обычных температурах и давлениях до 1,01^.10⁵ Па (1 атм) уравнение выполняется достаточно точно. Его широко используют при расчетах термодинамических свойств газов.

Ассоциированные газы не подчиняются уравнению даже при очень низких давлениях.

Законы идеального газа.

Изотермический процесс - кипение жидкости или плавление твердого тела при постоянном давлении.

Изобарный процесс - сжатие или расширение идеального газа при постоянном давлении.

Изохорный процесс - нагревание или охлаждение идеального газа при постоянном объеме

Закон Бойля-Мариотта.

При постоянной температуре и массе из уравнения Менделеева-Клайперона следует, что pV = const, т.е. при постоянной температуре и массе газа его давление обратно пропорционально объему. Процесс, при котором температура постоянна, называется изотермическим.

Закон Гей-Люсака.

Для изобарного процесса, происходящего при постоянном давлении, из у.М-К следует, что V = (M/pµ·R)T, т.е. объем пропорционален абсолютной температуре.

Закон Шарля.

Для изохорного процесса, происходящего при постоянном объеме, из у.М-К следует, что p = (M/Vµ·R)T, т.е. давление пропорционально абсолютной температуре.

Закон Дальтона.

Давление смеси газов, не взаимодействующих друг с другом химически, равно сумме парциальных давлений этих газов.

Так же, закон Дальтона описывает связь растворимости компонентов газовой смеси, которая пропорциональна их парциальному давлению.

p - Давление смеси газов

m_i - Масса растворимого газа

P - Давление окружающей среды

Парциальное давление - давление отдельно взятого компонента газовой смеси.

Закон Авогадро.

В равных объемах различных газов при постоянных температурах и давлении содержится одинаковое число молекул.

Из Закона Авогадро выводится 2 следствия:

1. Один моль любого газа при одинаковых условиях занимает одинаковый объем.

2. Отношение масс одинаковых объемов двух газов есть величина постоянная для данных газов.

Эта постоянная величина называется относительной плотностью газов.

Т ак как молярные объемы всех газов одинаковы (1-е следствие закона Авогадро), то отношение молярных масс любой пары газов также равна этой постоянной:

Относительная плотность газов

М - Молярные массы