2.2. Уравнение движения поезда.

Перейдем к реальному поезду, состоящему из локомотива и вагонов, соединенных между собой и с локомотивом посредством автосцепок, которые представляют собой упруго-жесткие связи. Реальный поезд в продольном направлении имеет число степеней свободы, равное числу вагонов в поезде из-за различия характеристик поглощающих аппаратов и различного износа деталей автосцепных приборов. Следовательно, вагоны могут перемещаться друг относительно друга и относительно центра тяжести поезда.

Рассмотрим поступательное движение поезда под воздействием внешних сил:

s_c – координата центра тяжести поезда относительно начала координат;

s_n – координата центра тяжести n-го вагона относительно начала координат;

s_cn – координата центра тяжести n-го вагона относительно центра тяжести поезда.

s_c характеризует полезное перемещение поезда, s_cn – относительное перемещение вагонов, на которое дополнительно расходуется энергия.

Координату центра тяжести любого вагона можно определить как сумму координаты центра тяжести поезда относительно начала отсчета и координаты центра тяжести этого вагона относительно центра тяжести поезда. Поезд в целом характеризуется системой уравнений:

.

Ускорение n-го вагона складывается из ускорения центра тяжести поезда и ускорения n-го вагона относительно центра тяжести поезда. Для нахождения ускорения n-го вагона дважды продифференцируем выражение по времени:

.

Подставляя полученное выражение для ускорения в уравнение движения поезда, получим:

.

Таким образом, движение поезда характеризуется системой из n уравнений. В практических расчетах практически никогда не используют приведенное выше выражение, т.к. получить выражение для относительных перемещений вагонов крайне сложно. Для этого необходимо использовать аппарат теории вероятностей и математической статистики.

2.3. Методы интегрирования уравнения движения поезда.

Все практические вопросы тяги поездов: определение массы состава, скоростей движения, времени прохождения отдельных перегонов, решение тормозных задач, определение расхода электроэнергии и топлива решаются при помощи уравнения движения поезда.

В 1898 г. появились графические способы интегрирования уравнения движения поезда. В России был опубликован способ Шведе, а во Франции способ Дедуи, однако оба эти способа не получили широкого практического применения.

Значительно большее применение получил графический способ, предложенный группой русских инженеров, работавших в конторе опытов при Министерстве путей сообщения (способ МПС).

Графоаналитические способы расчёта скорости и времени хода поезда были предложены Васютынским (1903 г.), Чечоттом (1910 г.). Способ интегрирования уравнения движения поезда с разложением в ряды был предложен Н.Н. Дегтеревым (1919 г.), разработавшим в дальнейшем и несколько графических способов.

Кратко рассмотрим некоторые способы решения уравнения движения поезда, используемые на практике до сих пор.

Графический метод. Исторически первым методом, примененным для практических задач, был графический метод, предложенный группой русских инженеров, работавших в конторе опытов при Министерстве путей сообщения (способ МПС). Графический метод основан на принципе конечных приращений и геометрической связи диаграммы равнодействующих сил f_y(V) и интегральной кривой V(s), существующей благодаря общей зависимости сил f_y и пути s от скорости.

Графический метод дает сравнительно невысокую точность расчетов и требует больших затрат времени. В настоящее время этот метод утрачивает свое значение и заменяется численными расчетами на ЭВМ.

Аналитический метод. Поскольку уравнение движения поезда существует в аналитическом виде, то логично решать его аналитическим методом. Запишем уравнение движения поезда, развернув его правую часть:

,

где f и b – соответственно удельная сила тяги и торможения;

_о, _i, _r – сопротивление движению, соответственно основное, от уклонов, кривых.

Из анализа приведенного выражения следует, что уравнение движения поезда возможно интегрировать по:

• пути;

• скорости;

• времени.

Для реализации этих возможностей необходимо иметь аналитические зависимости всех входящих в него составляющих, причем, зависимости необходимо иметь от той переменной, по которой производится интегрирование.

Из всех составляющих уравнения движения только для основного сопротивления движения существуют аналитические зависимости в функции скорости (_о = f(V)). Для механического колодочного торможения существуют аналитические зависимости коэффициента трения от скорости движения, поэтому получить зависимость b = f(V) так же нетрудно.

Тяговые, а так же тормозные характеристики электрического торможения большинства типов ЭПС, как правило, представлены в графическом или табличном виде в функции скорости. Для использования этих характеристик при аналитическом методе решения уравнения движения необходимо преобразовать их в аналитические выражения, что нетрудно сделать с использованием современных математических компьютерных пакетов.

Зависимость сопротивления движению от уклонов обычно представлена в функции пути. Зависимость сопротивления движению от кривых может быть представлена одновременно в функции пути и скорости:

где R_кр – радиус кривой;

_к – непогашенное ускорение в кривой.

,

где h – возвышение наружного рельса в кривой;

S_к – расстояние между кругами катания колес;

g – ускорение свободного падения.

Наиболее простая и наглядная формула получается при отсутствии возвышения наружного рельса:

.

Получить зависимости сопротивления движению от уклонов и кривых в функции скорости возможно только в том случае, если уже имеется зависимость скорости от пути.

Из сказанного выше следует сделать вывод, что наиболее просто уравнение движения поезда может быть решено аналитическим методом с использованием в качестве независимой переменной скорости движения.

На практике решение уравнения движения поезда аналитическим методом в чистом виде практически не встречается. Для практических задач используются менее точные методы, сущность которых сводится к замене дифференциалов конечными приращениями. Уравнение движения в этом случае приобретает вид:

.

Величины, входящие в правую часть уравнения на каждом шаге расчета принимаются постоянными – т.е. производится кусочно-линейная аппроксимация интегральных кривых. Проанализируем, какую из переменных наиболее рационально принимать за независимую.

В случае использования в качестве независимой переменной скорости расчет на каждом шаге производится в следующем порядке: V_i  t_i  s_i.

;

s_i = V_срi  t_i.

Здесь V_срi – средняя скорость движения на i-м шаге расчета:

.

Из выражения для приращения времени видно, что величина сопротивления движению от уклонов и кривых "запаздывают" на один шаг расчета, что приводит к некоторой погрешности вычислений. Кроме этого, данный метод неприменим при установившемся режиме движения (f_у  0  t  ).

В случае использования в качестве независимой переменной времени расчет на каждом шаге производится в следующем порядке: t_i  V_i  s_i.

V_i = t_i    (f(V_i-1) – _o(V_i-1) – b(V_i-1) – _i(s_i-1) – _r(V_i-1,s_i-1);

s_i = V_срi  t_i.

В данном случае "запаздывают" все составляющие удельной ускоряющей силы, но нет проблем с установившимся режимом движения.

В случае использования в качестве независимой переменной пути расчет на каждом шаге производится в следующем порядке: s_i  t_i  V_i.

;

.

Как следует из приведенных выше выражений, наименьшую погрешность должно дать интегрирование уравнения движения по скорости. Однако этот способ не позволяет интегрировать уравнение при установившемся режиме движения. Для исключения значительных погрешностей вычислений при подходе к установившемуся режиму движения (вследствие больших приращений пройденного пути возможен "пропуск" элементов профиля) следует во-первых, уменьшать шаг интегрирования, и, во-вторых – что при попадании величины удельной ускоряющей силы в некоторый диапазон f_у min < f_у < f_у max следует считать режим движения установившимся. Величина диапазона выбирается исходя из требуемой точности расчетов.

При моделировании пуска или электрического торможения электропоездов с контакторно-реостатной системой регулирования удобно интегрирование уравнения движения по току тягового двигателя (косвенное интегрирование по скорости). При этом

,

где U_дi – напряжение, прикладываемое к тяговому двигателю на i-м шаге;

I_дi  (r_дi + r_пi) – падение напряжения на активном сопротивлении обмоток тягового двигателя и пускового резистора;

Сф_i – магнитный поток, соответствующий току I_дi.

Использование тока тягового двигателя в качестве независимой переменной при интегрировании уравнения движения поезда имеет еще одно преимущество перед остальными способами – возможность уменьшения памяти ЭВМ, необходимой для хранения тяговых и тормозных характеристик ЭПС и уменьшения предварительной работы по обработке характеристик и вводу их в ЭВМ.

Поскольку решение уравнения движения поезда, как правило, подразумевает выбор оптимального с точки зрения расхода электроэнергии режима движения поезда, то необходимо иметь два семейства характеристик – тяговые (тормозные) и токовые. Как известно, сила тяги на ободе колеса определяется выражением

F_к = СФ_к  I_д,

скорость движения

.

В оба выражения входит величина нагрузочной характеристики тягового электродвигателя СФ_к, приведенная к ободу колеса. Следовательно, оба семейства характеристик можно описать имея зависимость СФ_к = (I_в). В этом случае объем требуемой памяти ЭВМ и объем предварительных вычислений уменьшается как минимум вдвое. Для вычислений на ЭВМ зависимость СФ_к = (I_в) целесообразно представить в виде степенного полинома вида

.

Коэффициенты полинома А_i нетрудно получить с использованием одного из математических компьютерных пакетов. Степень полинома n выбирается исходя из требуемой точности вычислений.

Таким образом, в режимах тяги и электрического торможения уравнение движения поезда для практических задач целесообразно интегрировать по току тягового электродвигателя; в режимах тяги и механического торможения – по скорости. При подходе к установившемуся режиму шаг интегрирования следует уменьшать. Критерием выбора величины шага интегрирования может быть точность расчетов, например допустимая погрешность прицельного торможения у остановочного пункта или длина элемента профиля. В установившихся режимах интегрировать уравнение движения следует по времени или пути.

Численные методы. Сущность их заключается в замене нелинейного дифференциального уравнения движения поезда линейным дифференциальным, решение которого с достаточной для практики точностью приближается к решению нелинейного уравнения, то есть в линеаризации уравнения движения поезда. Основным допущением, позволяющим производить линеаризацию, является принцип малых отклонений входящих в уравнение координат от тех значений, которые приняты в качестве исходных для линеаризации.

Известно много различных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений: Чаплыгина, Адамса, Рунге-Кутта, Милна и других. Эти методы обеспечивают сравнительно высокую степень точности, но требуют большого объема подготовительных работ. В тяговых расчетах используют менее точные, но более простые – метод Эйлера и разложения функции v(s) в ряд Тейлора. Зависимости f_к = f(V) и b = f(V) для этих методов описываются полиномами.

Для любого метода численного интегрирования расчет конечно-малых приращений времени производится по формуле:

.

Метод Эйлера. Запишем уравнение движения поезда в виде:

,

где _r(s) – зависимость сопротивления движению от кривых в функции пути.

Преобразуем уравнение:

.

Интервал времени, на котором решается уравнение разделим на n равных частей:

.

Производную в каждой точке кривой v(t) заменяем конечным приращением. С учетом того, что правую часть уравнения на каждом шаге считаем постоянной для n-го шага имеем:

,

то есть искомая функция на каждом шаге заменяется касательной линией, проведенной к точке, соответствующей началу шага.

Скорость движения и координата на n-м шаге:

V_n = V_n-1 + h    (f_к – _о – b – i – _r);

s_n = s_n-1 + V_n-1  t.

Таким образом, сущность метода Эйлера сводится к аппроксимации интегральной кривой v(t) последовательно сопряженными касательными.

Метод Эйлера применяется в системах автоведения поезда.

Решение уравнения движения поезда разложением в ряд Тейлора. Как известно, функцию вида y = (x) можно разложить в ряд Тейлора:

,

где R_n – остаточный член ряда;

n – приращение независимой переменной.

Применительно к уравнению движения поезда выражение примет вид:

По методике ПТР разложение в ряд Тейлора производится до третьего члена включительно, а в качестве независимой переменной интегрирования уравнения движения принимается V при малых скоростях и s при высоких. Такое разграничение объясняется тем, что при увеличении скорости движения равнодействующая сил f_y  0, а следовательно t  . При независимой переменной V разложение функции V(s) в ряд Тейлора приобретает вид:

.

В полученном уравнении остались дифференциалы, от которых мы так старательно стремились избавиться. В данном случае величина является коэффициентом наклона кривой скорости к оси времени, а величина – соответственно, коэффициентом наклона кривой ускорения.

Приращение пути на любом шаге

.

Так как при расчетах ограничиваются тремя членами ряда, то выражения для вычисления скорости движения и пути обеспечивают достаточную точность при соблюдении следующих условий:

1. При разгоне до выхода на автоматическую характеристику интегрирование ведется по скорости. При этом допустимое приращение скорости V_доп = 35 км/ч.

2. При более высоких скоростях интегрирование ведется по пути. При этом за шаг интегрирования принимается весь элемент профиля, если

< 35 км/ч; < 0,10,5 км/ч.

При невыполнении условия шаг интегрирования следует уменьшить.

Решение уравнения движения поезда разложением функции в ряд Тейлора успешно применяется при тяговых расчетах для разработки графика движения поездов.