9.Теорема Бернуллі. Теорема Лапласа (інтегральна та локальна)

Формула Бернуллі : У теорії ймовірності, дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експериментів.

Якщо ймовірність настання події в кожному з випробувань стала, то ймовірність того, що подія настане разів в незалежних випробуваннях дорівнює

або

Локальна теорема Лапласа: ймовірність того, що в  незалежних випробуваннях з ймовірністю появи події  рівній подія наступить рівно разів (байдуже в якій послідовності) визначається за наближеною формулою

де

– функція Гауса,

– аргумент функції Гауса;

– ймовірність протилежної події .

Формулу називають локальною формулою Лапласа.

Функція володіє наступними властивостями:

1) вона є парною функцією ;

2) для всіх аргументів більших за чотири функція нескінченно мала

 

Теорему Лапласа рекомендують застосовувати при  значеннях добутку більших за дев'ять  .

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа: ймовірність, що в незалежних випробуваннях подія з імовірністю появи настане не менше разів і не більше (незалежно від послідовності появи) наближено визначається залежністю

де – інтегральна функція Лапласа;

– аргументи інтегральної функції розподілу;

– ймовірність не виконання події .

Функція Лапласа  володіє такими властивостями:

1) вона є непарною ;

2) для всіх аргументів більших за п'ять вона рівна 0,5 

Значення обидвох функцій Лапласа  знаходять з таблиць, в яких вони з достатньою точністю протабульовані.

10.Найбілшь ймовірне число появи події. Розподіл Пуассона

Розподіл Пуассона :. Дискретна випадкова величина Х має закон розподілу Пуассона, якщо вона приймає значення 0, 1, … m ,… (нескінченну, проте злічену кількість значень) з ймовірностями:

Характеристики випадкової величини розподіленої за законом Пуассона:

Математичне сподівання - m_x=λ

Дисперсія - D_x=λ

Середнє квадратичне відхилення -

Закон розподілу Пуассона часто називають законом рідких явищ.

Ряд розподілу закону Пуассона має вигляд:

11.Функція розподілу випадкової величини та ії властивості, графік

Функцією розподілу, або інтегральним законом розподілу випадкової величини Х називається завдання ймовірності виконання нерівності X<x, що розглядається як функція від аргументу х :

F(x)=P(X<x)

Загальні властивості функції розподілу:

1) F(x) – невід’ємна функція із значеннями між нулем та одиницею.

0≤F(x)≤1

2) Ймовірність появи випадкової величини на інтервалі [a,b), дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях інтервалу, тобто

P(a≤X<b)=F(b)-F(a) (*)

12.Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (а;в):

ймовірність попадання неперервної випадкової величини Х на інтервал (a,b) дорівнює інтегралу від щільності розподілу, що його взято по цьому інтервалу, тобто

13.Щільність розподілу неперервної випадкової величини та ії властивості.

Нехай випадкова величина ξ є абсолютно неперервною, тоді її функція розподілу допускає представлення

,

де

• — невід'ємна інтегровна за Лебегом функція, яка називається функцією густини імовірності випадкової величини ξ.

Функція густини імовірності існує лише для абсолютно неперервних випадкових величин.