2 Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы

Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.

Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит ее частные производные по этим аргументам, то оно называется уравнением с частными производными.

Будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении.

Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, т.е. обращающая его в тождество, называется интегралом (решением) данного уравнения.

Интеграл дифференциального уравнения, называется общим, если он содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. А функции, получаемые из общего интеграла при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными интегралами этого уравнения.

Отыскание частного интеграла дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение с разделенными переменными

Общий вид:

Его общий интеграл:

Уравнение с разделяющимися переменными

Его общий вид: или .

Разделяя переменные: , получаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

Это уравнение вида: если функция удовлетворяет условию , k=const

Уравнение первого порядка называется однородным, если можно представить как функцию только одного отношения переменных , т.е. уравнения вида .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой у=ux (или x=uy), где u=u(x) ( u=u(y) )- новая функция.

Пример 1.

Найти общий интеграл данного уравнения:

Решение:

Это однородное уравнение, т.к.

Далее вводим новую функцию , полагая при этом и после подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными или

Разделим переменные: и, интегрируя, найдем или . Исключая вспомогательную функцию , окончательно получим

Линейные уравнения первого порядка

Это уравнения вида: , где и - известные функции от х.

Посредством замены функции произведением двух вспомогательных функций линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.

Пример 2

Решить уравнение

Решение:

Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем тогда и данное уравнение преобразуется к виду:

Так как одну из вспомогательных функций или можно взять произвольно, то выберем в качестве какой – либо частный интеграл уравнения (1)

Тогда для отыскания получим уравнение: (2)

Решая первое уравнение, найдем . Разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:

Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем как общий интеграл этого уравнения:

Зная и , находим искомую функцию .

Уравнение Бернулли

Его общий вид: . Данное уравнение отличается от линейного тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции . Решается оно так же, как и линейное. Посредством подстановки сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.