1 Определенный интеграл

Пусть функция определена на отрезке . Разобьём этот отрезок на части точками Получим частичных отрезков длиной = каждый.

В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим в ней значение функции .

Составим сумму произведений:

.

Эта сумма называется интегральной суммой функции на отрезке . Перейдем к пределу в последнем выражении, когда максимальный из отрезков .

Если при этом сумма имеет предел , не зависящей от способа разбиения отрезка на части и от выбора точек в них, то число называют определенным интегралом от функции на отрезке :

В таких случаях функцию называют интегрируемой на отрезке и для нее справедлива теорема, утверждающая, что любая непрерывная на отрезке функция, является интегрируемой.

1.1 Основные свойства определенного интеграла

1) ; 2) ;

3) ;

4) ;

5) , где - постоянная.

1.2 Правила вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона-Лейбница:

,

где - первообразная для .

2. Интегрирование по частям:

,

где и - непрерывные и дифференцируемые функции на отрезке .

3. Замена переменной:

,

где - функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке .

4)

Пример 29 Вычислить:

.

Решение.

По формуле Ньютона-Лейбница будем иметь:

Пример 30. Вычислить:

.

Решение.

Используем формулу интегрирования по частям:

=

Пример 31 Вычислить:

.

Решение.

Сделаем замену переменной:

; ;

.

1.3 Приложения определенного интеграла

1.3.1 Вычисление площадей плоских фигур

Используя геометрический смысл определенного интеграла, нетрудно получить формулу для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной кривыми и прямыми :

.

Пример 32

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и осью .

Решение.

Парабола пересекает ось в точках и ,

.Поэтому: (кв.ед.).

1.3.2 Вычисление объемов тел вращения

При вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями: , , ; вокруг оси , получим объем тела вращения:

.

Пример 33

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой и прямой .

Решение.

Для построения кривой найдем точки:

при , ; при , .

А(1,0); В(2,1)

1.3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая имеет непрерывную производную на отрезке , то длина дуги этой кривой находится по формуле:

.

Пример 34

Найти длину дуги кривой от до ( ).

Решение.

Найдем . Тогда .

1.1 Вопросы для самопроверки

1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке ?

2. Что называется определенным интегралом?

3. Каковы геометрический и физический смыслы определенного интеграла?

4. Назовите основные свойства определенного интеграла.

5. Назовите основные методы (правила) вычисления определенного интеграла.

6. Перечислите основные приложения определенного интеграла.