1.1.4 Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Шартты ықтималдық

Кездейсоқ оқиға шарттар ықтималдығын S жүзеге асырғанда болуы немесе болмауы мүмкін оқиға ретінде анықталған. Егер оқиға ықтималдығын есептегенде S шарттарынан басқа, ешқандай шектеулер салынбаса, онда мұндай ықтималдықты шартсыз деп атайды, егер де басқа да қосымша шарттар салынса, онда оқиға ықтималдығын шартты деп атайды. Мысалы, А оқиғасы болды деген қосымша шарт кезінде В оқиғасының ықтималдығын жиі есептейді.

А оқиғасы әлдеқашан болды деген болжаммен есептелген В оқиғасының ықтималдығын шартты ықтималдық Р_А (В) деп атайды.

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы

Осы оқиғалардың бірлесіп пайда болуынан (бірлесуінен) тұратын (АВ) оқиғаны А және В екі оқиғасының көбейтіндісі деп атайды.

Мысалы, егер А - стандартты тетік, ал В – боялған тетік болса, онда (АВ) – тетік стандартты және боялған.

Осы барлық оқиғалардың бірлесіп пайда болуынан тұратын оқиғаны бірнеше оқиғаның көбейтіндісі деп атайды.

Оқиғаны бірлестіру ықтималдығын, яғни А оқиғасының да, В оқиғасының да пайда болу ықтималдығын қалай табу керек деген сұраққа жауапты ықтималдықтарды көбейту теоремасы береді.

Екі оқиғаның бірлесіп пайда болу ықтималдығы олардың біреуінің ықтималдығының бірінші оқиға әлдеқашан болды деген болжамда есептелген екіншісінің шартты ықтималдығына көбейтіндісіне тең

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В). (1.9)

Бірнеше оқиғаның бірлесіп пайда болу ықтималдығы олардың біреуінің ықтималдығының барлық қалғандарының шартты ықтималдықтарына көбейтіндісіне тең, сонымен бірге әрбір келесі оқиғаның ықтималдығы барлық алдыңғы оқиға әлдеқашан іске асырылған деген болжаммен есептеледі

. (1.10)

Оқиғалар орналасқан тәртіптің кез келген болып таңдалуы мүмкін екендігін байқаймыз, яғни қай оқиғаны бірінші, екінші және т.б. деп есептеу керектігі бәрі бір.

Тәуелсіз оқиғалар үшін көбейту теоремасы

Егер А оқиғасының пайда болуы В оқиғасының ықтималдығын өзгертпесе, яғни егер В оқиғасының шартты ықтималдығы оның шартсыз ықтималдығына тең болса: Р_А(В) = Р(В), В оқиғасын А оқиғасына тәуелсіз деп атайды.

Тәуелсіз оқиғалар үшін ықтималдықтарды көбейту теоремасы мына түрде болады

Р(АВ) = Р(А)Р(В), (1.11)

яғни екі тәуелсіз оқиғаның бірлесіп пайда болу ықтималдығы осы оқиғалар ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең.

Егер олардың ішінде әрбір екеуі екі-екіден және қалғандардың барлық мүмкін көбейтінділері тәуелсіз болса, бірнеше оқиғаны жиынтығында тәуелсіз (немесе жай ғана тәуелсіз) деп атайды.

Жиынтығында тәуелсіз бірнеше оқиғаның бірлесіп пайда болу ықтималдығы осы оқиғалар ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең

. (1.12)

1.3-мысал. Сауытта 3 ақ және 3 қара шар бар. Сауыттан оларды кері қайтармай, бір шардан екі рет алады. Егер бірінші сынау кезінде қара шар (А оқиғасы) алынса, екінші сынау кезінде ақ шардың пайда болу (В оқиғасы) ықтималдығын табу керек. Бірінші сынаудан кейін сауытта 5 шар қалды, олардың ішінде 3-і – ақ. Ізделіп отырған шартты ықтималдық Р_А (В) = 3/5.

Тура осы нәтижені (1.9)-формула бойынша алуға болады

.

Шындығында, бірінші сынау кезінде ақ шардың пайда болу ықтималдығы Р(А) = 3/6 =1/2. Бірінші сынауда – қара, екіншіде ақ шардың пайда болуының Р(AВ) ықтималдығын табамыз. Нәтижелердің – екі шардың бірлесіп пайда болуының жалпы саны, қандай түс екені бәрі бір, орналастыру санына тең

А₆² = 6 х 5 = 30. Нәтижелердің осы санынан АВ оқиғасына 3 х 3 = 9 нәтиже қолайлы болады. Осыдан, Р(АВ)= 9/30 = 3/10. Ізделіп отырған шартты ықтималдық

Р_А (В) = Р (АВ)/Р (А) = (3/10)/(1/2) =3/5.

1.4-мысал. Жәшікте 20 тетік бар, оның 10-ы – стандартты және 10-ы стандартты емес. Кездейсоқ іріктелген 15 тетікті алады және бояйды, сонан соң оларды қайтадан орнына қояды. Оқиға деректері тәуелсіз деп болжап, осыдан кейін алынған тетіктің стандартты (А оқиғасы) және боялған (В оқиғасы) болып шығу ықтималдығын анықтау керек.

Тәуелсіз оқиғалар үшін ықтималдықтарды көбейту теоремасы бойынша

Р(АВ) = Р(А)Р(В),

мұнда Р(А)=10/20=1/2; Р(В)=15/20=3/4; Р(АВ) = 3/8.