- •1 Ықтималдықтар теориясынан мәліметтер
- •1.1 Ықтималдықтар теориясы пәні. Кездейсоқ оқиғалар
- •1.1.1 Ықтималдықты классикалық және статистикалық анықтау
- •1.1.2 Кездейсоқ оқиғалар түрлері
- •1.1.3 Ықтималдықтарды қосу теоремасы
- •1.1.4 Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Шартты ықтималдық
- •1.1.5 Оқиғалардың дегенмен біреуінің пайда болу ықтималдығы
- •1.1.6 Күмәнді оқиғалардың практикалық іске асырылмау принципі
- •1.1.7 Толық ықтималдық формуласы. Гипотезалар ықтималдығы
- •1.1.8 Бірнеше рет сынау. Бернулли формуласы
- •1.1.9 Лапластың жергілікті теоремасы
- •1.1.10 Лапластың интегралдық теоремасы
- •1.2 Кездейсоқ шамалар
- •1.2.1 Үлестіру заңы және дискрет кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары
- •1.2.2 Үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдықтарының үлестірім функциясы және тығыздығы
- •1.2.3 Үздіксіз кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары
- •1.2.4 Үлкен сандар заңы
- •1.3 Үздіксіз кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары
- •1.3.1 Біркелкі үлестірім
- •1.3.2 Кездейсоқ шаманың қалыпты үлестірімі
- •X қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың берілген интервалға түсу ықтималдығы.
- •1.3.3 Χ2 және Стьюдент үлестірімдері
- •1.4 Математикалық статистика элементтері
- •1.4.1 Бас және таңдамалы жиынтық туралы ұғым. Эмпирикалық үлестірім функциясы
- •Х нұсқалары
- •Х нұсқалары
- •1.4.2 Үлестірім параметрлерінің статистикалық бағалары
- •1.4.3 Кездейсоқ шамалар корреляциясы теориясы
- •1.4.4 Гипотезаларды статистикалық тексеру
- •1.5 Көп өлшемді үлестірімдер. Кездейсоқ вектор
- •1.5.1 Көп өлшемді үлестірімдер сипаттамалары.
- •2 Өлшемдер қателіктері теориясы
- •2.1 Өлшемдерді жіктеу
- •2.2 Өлшемдер қателіктерінің түрлері
- •2.2.1 Дөңгелектеу қателері
- •2.3 Өлшемдер нәтижелерінің дәлдік шамалары
- •2.3.1 Орташа квадраттық қателік. Тең дәлдікті өлшемдерді өңдеу
- •2.3.2 Тең дәлдікті емес өлшемдерді өңдеу. Өлшемдер салмағы және салмақ бірлігінің орташа квадраттық қателігі туралы ұғым
- •2.4 Өлшенген шамалар функцияларының қателіктері
- •2.4.1 Орташа квадраттық қателік және арифметикалық орталар салмағы
- •2.4.2 Салмақ бірлігінің орташа квадраттық қателігін арифметикалық орталардан ауытқуы бойынша анықтау
- •2.4.3 Тәуелсіз қателіктер көздерінің бірлескен әсері
- •2.5 Өлшемдер қателіктері теориясының тура және кері есептері
- •2.6 Ең кіші квадраттар әдісі
- •2.7 Бір шамалы көп реттік өлшемдерді қатаң теңестіру
- •3 Геодезиялық тораптарды теңестіру
- •3.1 Геодезиялық тораптарды параметрлік тәсілмен теңестіру
- •3.1.1 Параметрлік теңестіру теориясы
- •3.1.2 Матрицамен берілген параметрлік теңестіру теориясы
- •3.2 Пландық тораптар түзетулерінің параметрлік теңдеулерін құрастыру
- •Өлшенген бағыттарға арналған түзетулер теңдеулері
- •Өлшенген ара қашықтықтар үшін түзетулер теңдетулері
- •3.3 Пунктті өлшенген ара қашықтықтар бойынша триангуляциялық торапқа кірістіруді теңестіру кезінде түзетулердің параметрлік теңдеулерін құрастыру
- •3.4 Параметрлік теңестіру кезіндегі пландық тораптардың дәлдігін бағалау
- •3.4.1 Пландық тораптар координаталарының корреляциялық матрицасы
- •3.4.2 Пландық тораптар пункттерінің орналасу қателерінің эллипстері
- •3.4.3 Қателер эллипсінің параметрлерін есептеп шығару
- •3.5 Геодезиялық тораптарды коррелаттық тәсілмен теңестіру
- •3.5.1 Коррелаттық теңестіру теориясы
- •3.5.2 Матрицамен берілген коррелаттық теңестіру теориясы
- •3.6 Полигонометриялық тораптарды коррелаттық теңестіру
- •3.6.1 Полигонометриялық жүрістер жүйесін полигондар әдісімен теңестіру
- •3.7 Триангуляциялық тораптарды коррелаттық теңестіру
- •3.7.1 Бос триангуляциялық тораптардың шартты теңдеулерінің саны
- •3.8 Орталық фигураны теңестіру
- •3.9 Нивелирлік тораптарды коррелаттық теңестіру. Полигондар әдісі
- •3.10 Полигонометриялық және нивелирлік жүрістер тораптарын түйіндер әдісімен теңестіру
- •3.10.1 Бір түйінді нүктесі бар торапты теңестіру
- •3.10.2 Бірнеше түйінді нүктесі бар торапты теңестіру
3 Геодезиялық тораптарды теңестіру
Кейбір физикалық объектінің t белгісіз параметрлерінің сандық мәндерін бір мәнді анықтау үшін, t шамаларды өлшеу қажет. Мысалы, жазықтықтағы нүктенің орнын бір мәнді анықтау үшін екі параметр — X және Y координаталары болуы керек. Осыдан, осы екі шаманы өлшеу қажет. Қажетті мөлшерден артық орындалған өлшемдерді артық деп атайды. Өлшемдер қателіктері бар болғанда барлық п өлшенген шамалардан (t <n) t шамалар бойынша әр түрлі комбинациялар ізделіп отырған параметрлердің өз араларында ерекшеленетін мәндеріне әкеледі. Сонымен бірге осы параметрлердің түпкілікті (оңтайлы) мәндерін анықтау қажет. Шешу тәсілдерін таңдау нәтижелердің белгілі дәлдігінің талаптарымен ескертіледі. Дәлдікке жоғары талаптар қойылмағанда қалғандарын бақылау нұсқалары ретінде пайдаланып, бір (кез келген немесе аса дәл) нұсқаның нәтижелерімен шектелуге болады. Барлық мәндерден орташасын алуға болады. Алайда кіші квадраттар принципін (ККП) пайдаланып өлшемдер нәтижелерін өңдеу кезінде аса оңтайлы мәндер алынады.
Артық өлшемдер бар болғанда ізделіп отырған параметрлердің түпкілікті (оңтайлы) мәндерін табу процесін — теңестіру, ал осы процесті сандық іске асыруды теңестіруші есептеулер деп атау қабылданған.
ККП шартын (2.27) сақтап теңестіруді кіші квадраттар әдісі бойынша теңестіру немесе қатаң теңестіру деп атайды, оны іске асырғанда келесі міндеттер шешіледі:
1) өлшемдердің артық санымен байланысты шешімнің анықталмағандығы (көп мәнділігі) жоққа шығарылады;
2) барлық өлшемдерді оңтайлы пайдалану есебінен алынатын нәтижелердің дәлдігі мен сенімділігі артады. Артық өлшемдер санының (еркіндік дәрежелерінің саны) ұлғаюымен дәлдіктің жоғарылауы артады;
3) өлшенген және теңестірілген өлшенетін шамалардың және олардың функцияларының дәлдігін бағалау жүзеге асырылады.
Қатаң теңестіру нәтижесінде ізделіп отырған параметрлердің кездейсоқ жуықталған мәндері және осы мәндердің ақиқат мәндерден — дисперсиядан ауытқулары квадраттарының мүмкін (күтілетін) шамалары алынады. Математикалық статистикада қатаң теңестіруді — кіші квадраттар әдісі бойынша статистикалық бағалау, ал параметрлердің алынған мәндерін және олардың дисперсияларын статистикалық бағалау деп атайды.
Егер өлшенетін мәндер жүйелі қателерден бос және қалыпты заң бойынша үлестірілген болса, онда кіші квадраттар әдісі бойынша алынған бағалар олар ығыспағандық, тиімділік және тыңғылықтылық қасиеттерін иеленеді деген мағынада ең жақсы болады.
Математикалық үміті осы шаманың ақиқат мәнімен сәйкес келетін баға кейбір физикалық шаманың ығыспаған бағасы деп аталады. Егер оның таңдаманың берілген көлемінде ең кіші мүмкін дисперсиясы болса, ығыспаған баға тиімді деп аталады. Бағалардың тыңғылықтылығы олардың артық өлшемдер санының өсуімен ақиқат мәнге ұмтылуымен сипатталады.
Бұдан шығатыны, қалыпты үлестірілген шама ықтималдығының барынша үлкен тығыздығы ақиқат мәннің жанында шоғырланғандықтан, онда кіші квадраттар әдісі бойынша алынған бағалар ең үлкен ықтималдықтар тығыздығы облысында болады.
Ол кезде кіші квадраттар принципі сақталмайтын (толығымен немесе жартылай) теңестіру тәсілдерін жуықталған немесе ықшамдалған мәндерге жатқызады.
Жуықталған тәсілдерде негізінде теңестіріп есептеудің басты міндеті — анықталмағандықты (көп мәнділікті) жоққа шығару шешіледі. Басқа міндет (дәлдікті жоғарылату) жартылай шешіледі; дәлдікті жоғарылату теңестіру қатаңдығының бұзылу дәрежесіне байланысты болады. Кейбір жуықталған теңестіру жағдайларында теңестірілген мәндердің дәлдігі өлшенген мәндермен салыстырғанда төмендетілуі мүмкін. Жуықталған тәсілдерде дәлдіктің толық бағасын жүзеге асыру (теңестіріп есептеудің үшінші міндеті) түбегейлі іске асырылмайды; ал жартылай бағалау шешімнің күрделілігінен қиынға соғады .
Онда кіші квадраттар принципі бұзылатын жуықталған тәсілдің мысалы ретінде тұйықталған теодолиттік жүрісті ықшамдалған теңестіруді келтіруге болады. Осы теңестіру кезінде алдымен бұрыштарға түзетулер (өлшенген мәндер), сонан соң координаталар өсімшелері (өлшенген мәндерден функциялар) анықталады.
Жуықталған теңестіруді кеңінен пайдалану аса қарапайым есептеулермен және қарапайым есептеу құралдарын пайдалану мүмкіндігімен ескертілген. Есептеу техникасы мен технологияларының пайда болуымен және дамуымен жуықталған тәсілдер уақыт өткен сайын көбінесе қатаң тәсілдерге ауыстырылуда.
Қатаң теңестіру параметрлік немесе коррелаттық тәсілдермен орындалуы мүмкін, олар кіші квадраттар әдісінің есептейтін іске асырылуы болып табылады және сол бір нәтижелерге әкеледі.
Осы тәсілдердің әр түрлі модификациялары, соның ішінде оларды араластыру белгілі.