Кіріспе

Ғылыми және практикалық құндылықты білдіретін, анықталатын шамалардың аса сенімді сандық мәндерін алу үшін алғашқы ақпаратты (өлшемдер нәтижелерін) есептік түрлендіру кешенін математикалық өңдеу деп атайды.

Өлшемдер нәтижелерін математикалық өңдеудің өзгешелігі бар, ол есептеу процесінде қалыпты үлестірілген кездейсоқ шамаларды білдіретін өлшемдердің кездейсоқ қателіктерін есепке алу қажеттілігінен тұрады.

Өлшемдер нәтижелерін математикалық өңдеу міндеттері қажетті мөлшерден асыра орындалған артық өлшемдер бар болғанда ғана пайда болады және шешілуі мүмкін, бұл бір жағынан нәтижелерді бақылауды және сенімділігін қамтамасыз етеді, ал екінші жағынан өлшемдер қателіктерінің әсерінен сандық түрде анықталатын сол бір шамалы бірнеше мәннің алынуына әкеледі [1, 6].

Өлшемдер нәтижелерін математикалық өңдеу екі негізгі міндетті шешу үшін орындалады:

1) өлшенетін шамалардың және олардың функцияларының белгілі ақиқат мәндеріне жуықталатын артық ақпаратқа негізделген бір мәнді нәтижелерді алу;

2) өлшенген шамалар мен олардың функцияларының сапасын бақылау және дәлдігін бағалау.

Өлшемдердің математикалық дәлдігінің бірінші міндеті белгісіз ақиқат мәндерге жуықталатын бір мәнді нәтижелерді алу болып табылады. Бұл міндет ең кіші квадраттар әдісінің көмегімен шешіледі, ол өлшенген шамалардың оңтайлы мәндерін табудан басқа олардың дәлдігін және орындалған өлшемдердің сапасын бағалауға, яғни өлшемдерді мате­матикалық өңдеудің екінші міндетін шешуге мүмкіндік береді. Қалыпты үлестірілген шамаларды ең кіші квадраттар әдісі бойынша теңестіру ықтималдығы бойынша ең жақсы нәтижелерге әкеледі, яғни алынған бағалар жиынтығында ақиқат белгісіз мәндерге жақынырақ орналасады. Параметрлер мәндерін табу процесі ең кіші квадраттар әдісі бойынша теңестіру немесе қатаң теңестіру деп аталады.

Қатаң теңестіру параметрлік немесе коррелаттық тәсілдермен орындалған, олар ең кіші квадраттар әдісін есептеп іске асыру болып табылады және сол бір нәтижелерге әкеледі.

Өлшемдер нәтижелерін математикалық өңдеу пәнінің дамуы туралы қысқаша тарихи анықтама

Кездейсоқ шамаларды математикалық өңдеу теориясы мен практикасының дамуы астрономиялық және геодезиялық өлшемдермен және есептеулермен тарихи байланысты. Өлшемдердің артық санынан болатын нәтижелердің анықталмағандығы, қателіктер бар болғанда ең жақсы шешімдерді табу қажеттілігіне әкелді. Мұндай шешімдер Р. Коутстың (1682-1716), Л. Эйлердің (1707-1783), Р.И. Босковичтің (1711-1787), И.Г. Ламберттің (1728-1777), Ж.Л. Лагранждың (1736-1813), П.С. Лапластың (1749-1827) жұмыстарында қарастырылды.

Р. Коутс бірқатар бір шамалы тең дәлдікті емес өлшемдерді (ауырлық центрін табумен ұқсастығы бойынша) өңдеу кезінде өлшемдер салмағы ескеріліп алынатын мәнді қабылдауды ұсынды. Ізделіп отырған белгісіздерді біріктіріп, Эйлер қалыпты теңдеулер жүйесін құрастырды. Қателіктер қасиеттерін ықтималдық позицияларынан зерделеу негізінде И. Ламберт олардың дәлдігін бағалау ережелерін тұжырымдады және алғаш рет максимум ақиқатқа жақын принципті ұсынды (1760 ж.). Р. Боскович абсолют мәндер минимумы шартымен теңдеулердің анықталмаған жүйесін шешу әдісін әзірлеген. Кездейсоқ шамалардың үлестірімдері әр түрлі болғанда орташа арифме­тикалық қателіктердің пайда болу ықтималдықтары туралы міндетті Ж. Лагранж сәтті шешкен болатын. «Аналитикалық теория» кітабында Лаплас ықтималдықтар теориясының және оның бақылауды математикалық өңдеуге арналған қосымшаларының негіздерін баяндады [1].

XVII-VIII ғғ. авторлардың еңбектері ең кіші квадраттар әдісінің және қазіргі өлшемдер қателіктері теориясының негізін дайындады.

1806 жылы француз ғалымы Лежандр (1752-1833) градустық өлшемдерді өңдеу мысалында ең кіші квадраттар принципінің тиімділігін көрсетті. Ол өңдеу нәтижелерін «кометалық орбиталарды анықтаудың жаңа әдістері» мақаласында жариялады.

Үш жыл өткен соң атақты неміс математигі К. Гаусс (1777-1855) «Күннің маңайында айналатын аспан денелерінің қозғалу теориясы» ең кіші квадраттар принципін ғылыми негіздеді.

Математиканың барлығы дерлік салаларындағы, сондай-ақ астрономиядағы, геодезиядағы, механикадағы, электр тогы және магнетизм теориясындағы маңызды зерттеулер Карл Гаусстың атымен байланысқан. Оның өлшемдер нәтижелерін математикалық өңдеу теориясының дамуындағы ролі ерекше. Кездейсоқ шамаларды қалыпты үлестіру заңы, сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілі, алгоритм, символика, есептеу сұлбасы Гаусстың атымен аталған. Ең кіші квадраттар әдісін К. Гаусс алғаш рет 1823 ж. кері геодезиялық қиылыстыруды және 1826 ж. Ганновер қаласында триангуляциялық тораптарды өңдеу кезінде қолданды. Дәл осы уақытта құрумен айналысып, Гаусс тең дәлдікті емес өлшемдерді өңдеу негіздерін құрды.

Математикалық өңдеу теориясын әрі қарай дамыту неміс геодезистерінің (Бессельдің, Ганзеннің, Гельмерттің, Герлингтің, Шрейбердің және т.б.) есімдерімен байланысты. Олар ең кіші квадраттар әдісі бойынша геодезиялық құруды сандық өңдеудің екі негізгі нұсқасын әзірледі — параметрлік және коррелаттық; өңдеу нәтижелері бойынша дәлдікті бағалау теориясы мен әдістерін құрды; өңдеудің негізгі тәсілдерінің әр түрлі модификацияларын ұсынған.

Өлшемдерді ең кіші квадраттар әдісі бойынша өңдеудің толық әзірленген тәсілдеріне қарамастан, мұндай өңдеу есептеу кезінде пайда болатын қиындықтардан ұзақ уақыт бойы пайдаланылмады, себебі сол кезде аса тиімді есептеу құралы логарифмдер кестелері болды. Есептеулер көлемдерін қысқарту үшін геодезиялық өлшемдерді өлшеудің жуықталған тәсілдері әзірленген. Сонымен бірге жуықталған тәсілдердің жарамдылығын негіздеу үшін олардың нәтижелерін ең кіші квадраттар әдісі бойынша өңдеу нәтижелерімен салыстырған.

Орыс және кеңес ғалымдары П.Л. Чебышев (1821-1894), А.А. Марков (1856-1922), А.М. Ляпунов (1857-1918), А.Н. Колмогоров (1902-1987), А.Я. Хинчин (1894-1959), Н.В. Смирнов (1900-1960), Ю.В. Линник (1915-1972) ықтималдықтар теориясын және ең кіші квадраттар әдісін дамытуға және жетілдіруге маңызды үлес қосты.

1836 ж. орыс әскери геодезисі А.П. Болотов тұңғыш рет геодезиялық есептеу үшін ең кіші квадраттар әдісін қолдану бойынша практикалық нұсқауды жасады.

Академик А.Н. Савич 1857 ж. «Бақылауды және геодезиялық өлшемдерді есептеуге арналған ықтималдықтар теориясын қосымшасы» кітабын жазды, ол кейінірек Германияда неміс тілінде шығарылды. XIX ғ. аяғында және XX ғ. басында орыс ғалымдары Г.А. Тименің (1831-1910), В.И. Бауманның (1867-1923) және П.М. Леонтовскийдің (1870-1921) маркшейдерлік өлшемдерді өңдеу кезінде ықтималдықтар теориясын және ең кіші квадраттар әдісін қолдану бойынша жұмыстары пайда болды.

Кеңестік ғалым-профессорлар Ф.Н. Красовский (1878-1948) және Н.А. Урмаев (1895-1959) ауқымды астрономия-геодезиялық тораптарды математикалық өңдеу әдістерін әзірлеуге маңызды үлес қосты. Мұндай тораптарды өңдеу бойынша практикалық нұсқауларды құруда кеңестік геоде­зистер И.М. Герасимовтің және И.Ю. Пранис-Праневичтің еңбегі зор. Пранис-Праневичтің әдісі (жеке учаскелерге бөлу арқылы геодезиялық тораптарды өңдеу) өңдеудің топтық тәсілдерінің қазіргі әр түрлі модификацияларының негізіне салынған. геодезиялық құруды графикалық теңестірудің өзіндік әдісін проф. Н.Г. Келл ұсынған.

Өлшемдерді математикалық өңдеудің қазіргі теориясы ықтималдықтар теориясымен және математикалық статистикамен өзара тығыз байланысқан; онда матрицалық алгебраның математикалық аппараты пайдаланылады.

Өлшемдерді графтар теориясы позициясынан өңдеу кезіндегі негізгі ережелерді проф. С.А. Коробков тұжырымдаған болатын.

Математикалық өңдеу теориясын баяндағанда матрицалық есептеуді пайдалану біріншіден, дәстүрлі қолайсыз алгебралық есептеулерді ауыстыруға, екіншіден, жаңа ғылыми және практикалық нәтижелер алуға мүмкіндік берді.

1 Ықтималдықтар теориясынан мәліметтер

1.1 Ықтималдықтар теориясы пәні. Кездейсоқ оқиғалар

Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика өлшемдерді математикалық өңдеу курсының теориялық негізі болып табылады.

Бақыланатын оқиғаларды (құбылыстарды) олардың пайда болу мүмкіндігінің дәрежесі бойынша келесі үш түрге бөлуге болады: ең анық, іске асырылмайтын және кездейсоқ.

Егер белгілі жағдайлар жиынтығы жүзеге асырылатын болса (берілген жиынтықты S жиынымен белгілейміз), міндетті түрде болатын оқиғаны ең анық деп атайды. Мысалы, егер ыдыстағы су қалыпты атмосфералық қысымда және 20° темпера­турада болса, онда «ыдыстағы су сұйық күйінде болады» оқиғасы – ең анық. Бұл мысалда берілген атмосфералық қысым және су температурасы шарттар жиынтығын S құрайды.

Егер шарттар жиынтығы S жүзеге асырылатын болса, біле тұра болмайтын оқиғаны іске асырылмайтын деп атайды. Мысалы, егер алдыңғы мысалдың шарттар жиынтығы жүзеге асырылатын болса, «ыдыстағы су қатты күйінде болады» оқиғасы біле тұра болмайды.

Шарттар жиынтығын S жүзеге асырғанда не болуы мүмкін, не болмауы мүмкін оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды. Мысалы, егер монета лақтырылса, онда ол үстіңгі жағында не елтаңба, не жазу болатындай етіп түсуі мүмкін. Сондықтан «монетаны лақтырғанда «елтаңба» түсті» оқиғасы – кездейсоқ. Әрбір кездейсоқ оқиға, атап айтқанда «елтаңбаның» түсуі дегеніміз өте көп кездейсоқ себептер әрекетінің салдары (біздің мысалымызда: монета лақтырылған күш, монетаның пішіні және т.б.). Нәтижеге барлық осы себептердің әсер етуін ескеру мүмкін емес, себебі олардың саны өте көп және олардың әсер ету заңдары белгісіз. Сондықтан ықтималдықтар теориясы жеке оқиғаның болатынын немесе болмайтынын болжау міндетін алдына қоймайды. Егер S сол бір шарттарын жүзеге асыру кезінде бірнеше рет байқалуы мүмкін кездейсоқ оқиғалар қарастырылса, яғни егер жаппай біртекті кездейсоқ оқиғалар туралы сөз болса, іс басқаша болады.

Біртекті кездейсоқ оқиғалардың айтарлықтай көп саны олардың нақты табиғатына байланыссыз белгілі заңдылықтарға, атап айтқанда ықтималдық заңдылықтарына бағынатын көрінеді. Осы заңдылықтарды анықтаумен ықтималдықтар теориясы айналысады [2].

Сонымен, ықтималдықтар теориясы пәні жаппай біртекті кездейсоқ оқиғалардың ықтималдық заңдылықтарын зерделеу болып табылады.

Жаппай кездейсоқ оқиғалар бағынатын заңдылықтарды білу бұл оқиғалардың қалай өтетінін күні бұрын білуге мүмкіндік береді. Мысалы, бұрын айтылғандай, монетаны бір рет лақтырудың нәтижесін алдын ала анықтауға болмайды, бірақ егер монета айтарлықтай көп рет лақтырылатын болса, «елтаңбаның» пайда болу санын және де шамалы қателікпен алдын ала болжауға болады. Сонымен бірге монетаны сол бір жағдайларда лақтырады деп болжанады.

әрі қарай шарттар жиынтығын S іске асыру деп сынаулар жүргізу және өлшемдерді орындау шарттарын түсінетін боламыз.

Сынау (шарттар жиынтығын S іске асыру) нәтижесінде кездейсоқ оқиға А болуы не болмауы мүмкін деп болжайық.

Шарттар жиынтығын S орындау кезінде кездейсоқ оқиғаны А іске асыру мүмкіндігінің дәрежесін сипаттайтын шаманы оқиғаның болу ықтималдығы – р(А) деп атайды. Ықтималдық 0-ден 1-ге дейінгі шекте өзгеретін мөлшерсіз шама болып табылады.

Ықтималдықтар теориясының әдістері жаратылыстану мен техниканың әр түрлі салаларында: сенімділік теориясында, жаппай қызмет көрсету теориясында, теориялық физикада, геодезияда, астрономияда, өлшемдер қателері теориясында, автоматтық басқару теориясында, жалпы байланыс теориясында және көптеген басқа теориялық және қолданбалы ғылымдарда кеңінен қолданылады. Сондай-ақ ықтималдықтар теориясы математикалық және қолданбалы статистиканы негіздеу үшін қызмет атқарады, ол өз кезегінде өндірісті жоспарлау және ұйымдастыру кезінде пайдаланылады.

Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары туындаған алғашқы жұмыстар құмар ойындар теориясын құру әрекеттерін білдірген (XVI-XVII ғғ. Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма және басқа ғалымдар).

Ықтималдықтар теориясы дамуының маңызды кезеңі Якоб Бернуллидің (1654-1705) есімімен байланысты. Ол дәлелдеген, кейіннен «Үлкен сандар заңы» деп аталған теорема бұрын жинақталған фактілердің бірінші теориялық негіздемесі болды.