Случай 2

Цены на ресурсы ( ; ). Цена первого вида ресурсов (вагонки) больше чем, её двойственная оценка, а второго вида ресурсов (брусков) меньше таковой.

При таких значениях цен ресурсов целевая функция двойственной задачи (т.е. выручка от продажи всех видов ресурсов) примет значение 10*1,25+8*1,5 = 24,5, что меньше, а значит является более прибыльным для предприятия при производстве столиков, но менее прибыльным при продаже ресурсов.

Альтернативные издержки при производстве столиков «стандарт» составят 1,25+1,5 = 2,75, что ниже цены реализации данного вида товара. Такие столики производить выгодно.

Альтернативные издержки при производстве столиков «люкс» составят 2*1,25+1,5 = 4, что равно цене реализации данного товара, а значит производить столики данного вида ни выгодно, ни не выгодно. Сумма прибыли от этого не изменится.

Если будет производится, только первый вид столиков, то максимально возможное их число для производства составляет 8 шт., т.к. затраты бруска на данный вид столиков составляют 1 п.м., а их запас ограничивается 8 п.м.

Отсюда оптимальный план производства (8; 0).

При этом, доход от продажи столиков и оставшейся вагонки: 8*3 + 2*1,25 = 26,5 тыс. руб. Тогда прибыль составит 26,5-24,5 = 2 тыс. руб.

Функция прибыли будет составляться из прибыли (убытка) от продажи обоих видов столиков. Прибыль от конкретного вида столика, определяется как произведение количества столиков на разницу между ценой и себестоимостью:

(3-2,75)*х₁ + (4-4)*х₂ = 0,25х_1.

Выведем эту же функцию математически:

3х₁ + 4х₂ + 1,25*(10– x₁ – 2*x₂) + 1,5*(8– x₁ – x₂) – 24,5 =

= 3х₁ + 4х₂ + 1,25*10– 1,25 x₁ – 1,25*2*x₂ + 1,5*8– 1,5*x₁ – 1,5*x₂) – 27 =

= (3х₁ – 1,25 x₁ – 1,5*x₁) + (4х₂ – 1,25*2*x₂ – 1,5*x₂)+ (12,5+ 12 – 24,5) =

= 0,25х_1..

Используя функцию прибыли проверим найденный оптимальный план производства, решив задачу графически:

Функция прибыли приходит в максимум в точке D с координатами (8; 0). Таким образом, найденый ранее оптимальный план определен верно.

Случай 3

Цены на ресурсы ( ; ). Цена первого вида ресурсов (вагонки) меньше чем, её двойственная оценка, а второго вида ресурсов (брусков) больше таковой.

При таких значениях цен ресурсов целевая функция двойственной задачи (т.е. выручка от продажи всех видов ресурсов) примет значение 10*0,25+8*2,5 = 22,5, что меньше, а значит является более прибыльным для предприятия при производстве столиков, но менее прибыльным при продаже ресурсов.

Альтернативные издержки при производстве столиков «стандарт» составят 0,25+2,5 = 2,75, что ниже цены реализации данного вида товара. Такие столики производить выгодно. Прибыль от одного столика составит 3-2,75 = 0,25 тыс. руб.

Альтернативные издержки при производстве столиков «люкс» составят 2*0,25+2,5 = 3, что меньше, чем цена реализации данного товара, а значит производить столики данного вида выгодно. Прибыль от данного вида столиков составит 4-3 = 1 тыс. руб.

Прибыль от второго вида столиков выше, поэтому производить лучше их. Если будет производится, только второй вид столиков, то максимально возможное их число для производства составляет 5 шт., т.к. затраты вагонки на данный вид столиков составляют 2 упаковки, а их запас ограничивается 10 упаковками.

Отсюда оптимальный план производства (0; 5).

При этом, доход от продажи столиков и оставшегося бруска составит: 5*4 + 3*2,5 = 27,5 тыс. руб. Тогда прибыль составит 27,5-22,5 = 5 тыс. руб.

Функция прибыли будет составляться из прибыли (убытка) от продажи обоих видов столиков. Прибыль от конкретного вида столика, определяется как произведение количества столиков на разницу между ценой и себестоимостью:

(3-2,75)*х₁ + (4-3)*х₂ = 0,25х₁ + х_2.

Выведем эту же функцию математически:

3х₁ + 4х₂ + 0,25*(10– x₁ – 2*x₂) + 2,5*(8– x₁ – x₂) – 27 =

= 3х₁ + 4х₂ + 0,25*10– 0,25 x₁ – 0,25*2*x₂ + 2,5*8– 2,5*x₁ – 2,5*x₂) – 22,5 =

= (3х₁ – 0,25 x₁ – 2,5*x₁) + (4х₂ – 0,25*2*x₂ – 2,5*x₂)+ (2,5+ 20 – 22,5) =

= 0,25х₁ + х_2..

Используя функцию прибыли проверим найденный оптимальный план производства, решив задачу графически:

Функция прибыли приходит в максимум в точке B с координатами (0; 5). Таким образом, найденый ранее оптимальный план определен верно.