Пример:

Имеем следующий массив из N₀ = 50 значений наработки до отказа Т·10^-3, ч: 5, 10, 6, 7, 2, 5, 5, 9, 12, 4, 1, 6, 8, 7, 4, 3, 11, 4, 6, 5, 7, 8, 3, 4, 6, 8, 7, 11, 6, 1, 5, 2, 7, 6, 9, 2, 5, 9, 4, 6, 8, 10, 5, 1, 7, 9, 3, 8, 1, 4.

Заданное значение t = 7,5·10³ ч.

Заданное значение объема партии N_п = 650.

Число форсунок, работоспособных к этому времени N_р(t) = 15 (значения наработок, превышающих заданное значение отмечены курсивом).

Статистически вероятность безотказной работы форсунки для наработки 7,5·10³ ч:

Статистическая вероятность отказа форсунки за наработку 7,5·10^-3 ч:

Проверка: P*(7,5·10³) + F*(7,5·10³) = 0,3 + 0,7 = 1.

Математическое ожидание числа форсунок N_p(t), работоспособных к наработке t = 7,5·10³ ч:

N_p(t) = Р*(t) N_п =0,3*650 = 195.

Условия задания 2.2. Требуется рассчитать среднюю наработку до отказа Т_ср рассматриваемых форсунок. Первоначально вычисления произвести непосредственно по выборочным значениям Т, указанным в таблице 2, а затем с использованием статистического ряда. Оценить ошибку вычислений при использовании статистического ряда.

Методические указания к заданию 2.2. Для вычислений среднего значения Т_ср случайной величины Т непосредственно по ее выборочным значениям t₁, t₂, …, t_i, …, используют формулу (4)

Уточним, что здесь N₀ равно количеству значений наработок в массиве Т в таблице 2 для заданного Вам варианта.

Для выполнения второй части задания 2.2 преобразуем результаты наблюдений (массива Т значений t_i) в статистический ряд. Разобьем весь диапазон наблюдаемых значений наработок форсунок на m интервалов и подсчитаем число попаданий n_j, приходящихся на каждый j-й интервал.

Результаты такого преобразования удобно записывать в форме, соответствующей таблице 4. Длины ∆t всех интервалов чаще всего принимают одинаковыми, а число разрядов m обычно устанавливают порядка 10. Для выполнения данного задания примите ∆t = 3*·10^-3 ч, а m = 4.

Нижнюю границу первого интервала Т₀ установите, пользуясь таблицей 2.

Пример:

Для примера в таблице 4 указаны результаты систематизации в виде статистического ряда 100 значений случайной величины, распределенной на интервале [8,5·10³ ч; 20,5·10³ ч] для тех же условий, т.е. Т₀ = 8,5·10³ ч; ∆t = 3·10³ч, m = 4.

Заполнять таблицу несложно. Последовательно просматривая массив значений {t_i}, оценивают, к какому интервалу относится каждое число. Факт принадлежности числа к определенному интервалу отмечают чертой в соответствующей строке таблицы. Затем подсчитывают n₁, …, n_j,…, n_m - число попаданий значений случайной величины (число черточек) соответственно в 1-й, …, j-й,…, m-й интервал. Правильность подсчетов определяют, используя следующее соотношение:

.

Границы интервала должны соответствовать совокупности значений t_i таблицы 2.

Таблица 4 - Преобразование значений наработки до отказа в статистический ряд

Интервал		Число попаданий на интервал	nj	Статистическая вероятность
№ пп	Нижняя и верхняя границы, 10-3 ч
1	8,5 – 11,5	///// ///// /////	n1 = 15	q1 = 0,15
2	11,5 – 14,5	///// ///// ///// ///// ///// ///// /////	n2 = 35	q2 = 0,35
3	14,5 – 17,5	///// ///// ///// ///// /////	n3 = 30	q3 = 0,30
4	17,5 – 20,5	///// ///// ///// /////	n4 = 20	q4 = 0,20

Статистический ряд следует изобразить графически, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 – Статистический ряд наблюдений

С этой целью по оси абсцисс отложите интервалы, и на каждом интервале постройте прямоугольник, высота которого равна статистической вероятности попадания случайной величины на данный интервал. Здесь T₀, …, T_j, …, T_m соответственно верхние границы 1-го, …, j-го, …, m-го интервалов.

Статистическая вероятность q_j попадания случайной величины на j-й интервал рассчитывается как

.

Подсчитайте значения q_j для всех разрядов и проверьте правильность расчетов, используя выражение

.

Для расчета среднего значения случайной величины в качестве «представителя» всех ее значений, принадлежащих j-му интервалу, принимают его серединуt_j. Тогда средняя наработка форсунок до отказа определяется по формуле

.

Расчет с использованием данной формулы вносит некоторую методическую ошибку. Однако ее значение обычно пренебрежимо мало. Эту ошибку в ваших расчетах оцените по формуле

,

где Т_ср(I) и Т_ср (II) - средние значения наработки до отказа, соответственно вычисленные непосредственно по выборочным значениями и определенные с использованием статистического ряда.

Условия задания 2.3. Требуется рассчитать интенсивность отказов форсунок λ(t) для всех 4-х интервалов и ∆t = 3·10^-3ч.

Методические указания к заданию 2.3. Статистически интенсивность отказов есть отношение числа отказавших образцов техники в единицу времени к среднему чис­лу образцов, исправно работающих на интервале [t, t + t]:

Вычислим значения интенсивности отказов *(t), воспользовавшись выражением, преобразовав его следующим образом:

где N_срi — среднее число работоспособных объектов на временном интервале i,

n_i — число отказов за период t в данном интервале.

Пример:

В примере, приведенном в таблице 4, на первом временном интервале произошло 15 отказов, при этом в начале интервала число исправных форсунок N(0) = N₀ = 100, а в конце интервала N (100) = N₀ - 15 = 85. Тогда

На втором интервале

Интенсивности отказов *₃ и *₄ определяются аналогично.

Задание 3. Аналитическое определение количественных характеристик надёжности технического изделия при известном законе распределения случайной величины

Выбор вариантов задания производится соответственно номеру зачетной книжки по таблицам 5 и 7.

Краткие теоретические сведения

Экспоненциальный закон – закон, описывающий непрерыв­ные случайные величины, как правило, относится к техническим изделиям, работающим в период «нормальной эксплуатации».

Функция надежности, определяющая вероятность безотказной работы элемента автомобиля за время t, описывается формулой:

P(t) = e^-t , (11)

где параметром распределения является  = 1/Т_ср, здесь Т_ср – ма­тематическое ожидание случайной величины. В данном случае интенсивность отказов есть величина постоянная (t) = .

Нормальный закон описывает непрерывные случайные ве­личины, рождаемые процессом с хорошо выраженным последей­ствием. Если на процесс влияет много различных факторов, то рождаемая этим процессом случайная величина будет распределена по нор­мальному закону. Распределение функции надежности при этом вычисляется по формуле:

, (12)

где Т_ср — математическое ожидание случайной величины;

— сред­нее квадратическое отклонение;

F(z) – функция, определяющая вероятность отказа.

Данная функция, представленная формулой (12), не имеет аналитиче­ского выражения, поэтому для ее построения пользуются табличными значениями функции F(z), где z = (t – T_cp)/  — квантиль (условный аргумент, позволяющий определять значения вероятно­стей для любых совокупностей нормально распределенных слу­чайных величин).

Характерной особенностью нормального закона является то, что кривая плотности вероятности симметрична относительно математического ожидания, а кривая функции надежности зеркально симметрична относительно вероятности 0,5, соответствующей времени математического ожидания T_cp. C вероятностью 0,997 нормально распределенная случайная величина укладывается в интервал T_cp ± 3.

Условия задания 3.1. Исследовать изменение функции надежности в интервале времени от 0 до t часов если время безотказной работы элемента автомобиля подчинено экспоненциальному закону распределения с заданными параметрами.

Таблица 5 – Исходные данные. Экспоненциальный закон распределения

Последняя цифра номера зачетной книжки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Интенсивность отказов , ч-1	0,01	0,015	0,02	0,025	0,015	0,02	0,025	0,02	0,015	0,01
Расчетное время t, ч	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500

Методические указания для задания 3.1.

При выполнении задания следует разделить заданное расчетное время работы машины на пять равных интервалов и произвести расчет функции надежности в полученные моменты времени t по формуле (11). Построить график изменения функции надежности P(t) по полученным значениям. Описать график.

Пример:

Расчетное время t = 120 ч, Заданная интенсивность отказов  = 0,03 ч^-1.

Разобьем время t на пять интервалов по 24 ч. Значения времени, соответствующие границам интервалов заносим в верхнюю строку таблицы 6. Во вторую строку таблицы - соответствующие им значения вероятности безотказной работы машины P(t), рассчитанные по формуле (11).

Таблица 6 – Результаты расчетов функции надежности при экспоненциальном законе распределения

t, ч	0	24	48	72	96	120
P(t)	1	0,487	0,237	0,115	0,056	0,027

По полученным значениям строим график изменения функции надежности (рисунок 2). По оси абсцисс откладываем время работы машины, по оси ординат – полученные значения функции надежности.

Рисунок 2 – Функция надежности при экспоненциальном законе распределения

Анализ зависимости функции надежности от времени показывает, что первые 20 часов вероятность безотказной работы уменьшается в два раза, а затеем асимптотически приближается к нулю. После 80 часов вероятность безотказной работы составляет менее 10%.

Условия задания 3.2. Исследовать изменение функции надежности в интервале времени от 0 до t часов если время безотказной работы элемента автомобиля подчинено нормальному закону распределения с заданными параметрами.

Таблица 7 – Исходные данные. Нормальный закон распределения

Предпоследняя цифра номера зачетной книжки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Математической ожидание Тср, ч	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500
Среднее квадратическое отклонение времени безотказной работы , ч	15	30	40	50	80	90	100	120	140	150
Расчетное время t, ч	90	200	270	350	500	600	700	800	900	950

Методические указания для задания 3.2.

При выполнении задания следует разделить заданное расчетное время работы машины на пять равных интервалов. Произвести расчет квантилей z, для полученных моментов времени t и найти по таблице 9 соответствующие им табличные значения функции F(z). По формуле (12) рассчитать значения функции надежности P(t) и построить график ее изменения в зависимости от времени.

Пример:

Расчетное время t = 120 ч, Заданное значение математического ожидания Т_ср = 60 ч, среднее квадратическое отклонение времени безотказной работы  = 15 ч.

Разобьем время t на пять интервалов по 24 ч. Значения времени, соответствующие границам интервалов заносим в верхнюю строку таблицы 8. Во вторую строку - соответствующие им значения квантили z = (t – T_cp)/ . Значения функции F(z) определяем по таблице 9 и вносим в третью строку. Затем по формуле (12) вычисляем значение функции надежности P(t) — вероятности безотказной работы элемента машины и заполняем четвертую строку таблицы.

Таблица 8 – Результаты расчетов функции надежности при нормальном законе распределения

t, ч	0	24	48	72	96	120
	-4,0	-2,4	-0,8	0,8	2,4	4,0
F(z)	0	0,008	0,212	0,788	0,992	1,0
P(t)=1- F(z)	1	0,992	0,788	0,212	0,008	0

По полученным значениям строим график изменения функции надежности (рисунок 3). По оси абсцисс откладываем время работы машины, по оси ординат – полученные значения функции надежности.

Рисунок 3 - Функция надежности при нормальном законе распределения

Анализ зависимости функции надежности от времени показывает, что первые 24 часа вероятность безотказной работы уменьшается мало, при t = Т_ср равна 50%, а затем асимптотически приближается к нулю. После 80 часов вероятность безотказной работы составляет менее 10%.

Таблица 9 - Значения интегральной функции F(z) нормального закона

распределения вероятностей случайной величины

z F(z)	0,0 0,500	-0,1 0,460	-0,2 0,421	-0,3 0,382	-0,4 0,345	-0,5 0,309	-0,6 0,274	-0,7 0,242	-0,8 0,212	-0,9 0,184
z F(z)	-1,0 0,159	-1,1 0,136	-1,2 0,115	-1,3 0,1097	-1,4 0,081	-1,5 0,067	-1,6 0,055	-1,7 0,045	-1,8 0,036	-1,9 0,029
z F(z)	-2,0 0,023	-2,1 0,018	-2,2 0,014	-2,3 0,011	-2,4 0,008	-2,5 0,006	-2,6 0,005	-2,7 0,004	-2,8 0,003	-2,9 0,002
z F(z)	-3,0 0,0013	-3,1 0,001	-3,2 0,0007	-3,3 0,0005	-3,4 0,0003	-3,5 0,0002	-3,6 0,0002	-3,7 0,0001	-3,8 0,0001	-3,9 0,000
z F(z)	0,0 0,500	0,1 0,54	0,2 0,885	0,3 0,618	0,4 0,655	0,5 0,691	0,6 0,726	0,7 0,758	0,8 0,788	0,9 0,816
z F(z)	1,0 0,841	1,1 0,864	1,2 0,885	1,3 0,903	1,4 0,919	1,5 0,933	1,6 0,945	1,7 0,955	1,8 0,964	1,9 0,971
z F(z)	2,0 0,977	2,1 0,982	2,2 0,986	2,3 0,989	2,4 0,992	2,5 0,994	2,6 0,995	2,7 0,996	2,8 0,997	2,9 0,998
z F(z)	3,0 0,9987	3,1 0,9990	3,2 0,9993	3,3 0,9995	3,4 0,9997	3,5 0,9998	3,6 0,9998	3,7 0,9999	3,8 0,9999	0,39 1,000

Примечания: 1) Аргументом функции является квантиль .

2) Квантили z и значения функции F(z) расположены парами, т.е. для каждой z под ней дано значение F(z). Положительные квантили z отделены от отрицательных двойной линейкой.

Литература

Основная литература

1. Яхьяев Н.Я. Основы теории надежности и диагностика [текст]: учебник для вузов/ Н.Я. Яхьяев, А.В. Кораблин. – М.: Академия, 2009, 256 с.

2. Острейковский В.А. Теория надежности [текст]: Учебник для вузов 2-е изд., испр. - М.: Высш. шк., 2008, 463 с.

Дополнительная литература

3. Малкин В.С. Техническая эксплуатация автомобилей: Теоретические и практические аспекты [текст]: учеб. пособие – М.: Академия, 2007, 288 с.

4. Александровская Л.Н. Современные методы обеспечения безотказности сложных технических систем [текст]: учеб. для студ.вузов / Л.Н. Александровская, А.П. Афанасьев, А.А. Лисов. - М.: Логос, 2001, 208 с.

5. Вахламов В.К. Техника автомобильного транспорта: Подвижной состав и эксплуатационные свойства [текст]: учеб.пособие для студ. вузов / В.К. Вахламов., 2-е изд., стер. - М.: Академия, 2005, 528 с.