8. Задача “о выборе” или “о назначениях”. Экономическая постановка и построение математической модели задачи.
Пусть имеется n специалистов и n видов работ. Известна эффективность каждого специалиста при выполнении каждого вида работ (i,j=1,n). Каждый специалист может быть направлен только на одну работу и каждая работа может быть выполнена только одним специалистом. Необходимо определить направления специалистов на работу, чтобы суммарная эффективность выполнения всей работы была максимальной.
Обозначим через - направление i-го специалиста на j-ю работу. Будем считать, что
=
Математическая модель задачи следующая:
Z=
→max,
=
Замечание: Это транспортная задача с ресурсами и потребностями, равными единице. Ее можно решать как обыкновенную транспортную задачу, только все оценки должны быть ≥0, так как задача решается на max. В задаче о назначениях в опорных планах пишется много нулей и при переходе от одного опорного плана к другому часто перемещаются нули, но значения целевой функции при этом не меняется.
9. Задача о раскрое: Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм. Непосредственное использование таких материалов, как правило, невозможно. Предварительно их разделяют на заготовки необходимых размеров. Это можно сделать, используя различные способы раскроя материала. j - индекс материала, j = 1,п; к - индекс вида заготовки, к = 1,q; i - индекс способа раскроя единицы материала, i = 1,р; ajik — количество (целое число) заготовок вида к, полученных при раскрое единицы j-го материала i-м способом; bк — число заготовок вида к в комплекте, поставляемом заказчику; dj - количество материала j-го вида; xji - количество единицу-го материала, раскраиваемых по i-му способу (интенсивность использования способа раскроя); cji— величина отхода, полученного при раскрое единицы j-ro материала по i-му способу; у — число комплектов заготовок различного вида, поставляемых заказчику. ∑∑x→min. ∑∑ax ≥ b(k) где k = 1,…,q, xji ≥ 0, где j=1,n; i=1,p
10. Межотраслевой баланc — экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах. Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостный состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.
11. Коэффициентов прямых материальных затрат: Aij=xij/xj, I,j=1,n. Коэффициент aij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта. Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффициенты прямых затрат являются величинами безразмерными.Поэтому 0≤ aij<1 i,j=1,n. Считая коэффициенты прямых материальных затрат постоянными, запишем систему балансовых соотношений следующим образом: ∑ax + y=x. В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим образом: X - AX = Y или (E - A) X = Y. Если X - AX = Y или (E - A) X = Y,имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)-1Y. Матрицу (Е-А)-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэффициент bij этой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли.
12. Условия продуктивности: 1) матр. (Е-А)должна быть не отрицательна,т.е.к ней сущ.обратная.2) Матричный рад Е+А+А2+А3+…Ап= ∑ явл.сходящейся и в пределе равен (Е-А) -1(степень). 3) наибольшее по модулю собственное число матр.А должно быть строго меньше1. 4) все (главн.матрицы (Е-А)) должны быть положительны.